Рубрика: Математика

( Август 2020, idb.kniganews )

Умные и образованные люди внимательно смотрят на внятные математические данные – и абсолютно не осознают, что они тут видят. Как такое может быть? Пока что этого не понимает никто. Но нечто содержательное на данный счёт удалось выяснить учёным-нейробиологам.

В начале 1939 года нобелевскому лауреату и просто великому физику-теоретику Полю Дираку довелось прочитать свою первую не сугубо научную, а скорее философскую лекцию – по случаю очередного его награждения ещё одной почётной премией. Выступление учёного, ориентированное на самую широкую аудиторию, было посвящено очень глубоким взаимосвязям между чистой математикой и устройством Природы. Что наиболее убедительно демонстрируют прекрасно работающие уравнения математической физики.

Дирак назвал свою лекцию «Отношение между математикой и физикой», а завершил своё выступление такими словами:

[Как свидетельствуют достижения современной науки,] имеется возможность того, что когда-нибудь удастся осуществить древнюю мечту философов – связать всю Природу со свойствами целых чисел. Но чтобы сделать это, физике необходимо пройти долгий путь, устанавливая в деталях, как это соответствие должно выглядеть…

Сегодня, 80 лет спустя после прогноза Дирака, на основании новейших данных физико-математической теории можно уверенно утверждать, что обозначенная учёным возможность для воплощения идей пифагорейцев по-прежнему имеется. Однако и ныне тем из исследователей, кто видит этот маршрут – «связать всю Природу со свойствами целых чисел» – расстояние до цели по-прежнему представляется совсем неблизким.

Особо же интересно здесь то, что именно сейчас нейронаука начинает постигать, отчего этот путь – ещё тысячи лет назад указанный древними мудрецами – оказывается для человека столь долгим и трудным.

В июле 2020 года известный журнал Science (или «Наука» по-русски) опубликовал статью под интригующим, хотя и неуклюжим заголовком: «Загадочный случай человека, способного читать буквы, но не числа, обнажает корни сознания» («The mysterious case of man who can read letters — but not numbers — exposes roots of consciousness,» by Sam Kean, July 29, 2020 ).

По прочтении как статьи, так и отчёта о большом исследовании учёных-нейрофизиологов, которому данная статья посвящена, сразу же можно сказать, что до «корней сознания» в мозге человека никто тут пока не добрался, конечно. Но вот о том, сколь сложны и загадочны взаимосвязи между тем, что человек отчётливо видит, и тем, как человек (не) распознаёт наблюдаемое – об этом наука точно узнала ныне много нового и неожиданного.

И коль скоро новые открытия нейронауки прямо и непосредственно связаны с особенностями того, как наш мозг обрабатывает числа, имеется тут и отчётливая связь с неосуществлёнными мечтами Дирака и древних философов.

Читать «Арифметика, нейропатология и слепые зоны науки» далее

( Август 2020, idb.kniganews )

Один из величайших теоретиков в истории науки почти столетие назад открыл одну из главных формул в физике XX века. Авторитет учёного общепризнан, важность его формулы неоспорима, но при этом подлинная ценность Уравнения Дирака для понимания устройства мира до сих пор наукой так и не постигнута.

Ровно четверть века тому назад, осенью 1995 года, британские власти таки решили увековечить память о Поле Дираке, заложив в его честь мемориальную плиту в Вестминстерском аббатстве. На торжественном открытии мемориала от лица науки с интересной речью выступил профессор Стивен Хокинг (цитируется по материалам сборника «Paul Dirac: The man and his work», Cambridge, 1998):

Поль Адриен Морис Дирак родился в 1902 году в Бристоле, у швейцарского отца и английской матери. Впоследствии он станет Лукасовским профессором в Кембридже и лауреатом Нобелевской премии, однако для публики Дирак никогда не был особо известным человеком. Его смерть в 1984 была отмечена кратким некрологом в «Таймс», но в целом осталась почти незамеченной.

Нации понадобилось 11 лет на признание того, что Дирак, вероятно, был величайшим из британских физиков-теоретиков со времён Ньютона. И пусть с запозданием, но поместить в его честь мемориальную плиту в Вестминстерском аббатстве. Моя задача – объяснить почему. Объяснить, то есть, почему он был так велик, а не почему для признания понадобился столь долгий срок.

В начале XX столетия не только наши взгляды на мир, но и вообще базовые представления о реальности, были полностью преобразованы благодаря двум открытиям:теории относительности и квантовой механике. Дирак сыграл ведущую роль в создании основ квантовой теории, а затем пошёл дальше, работая над тем, как объединить квантовую механику со специальной теорией относительности.

В 1928 им было открыто то, что сам он называл релятивистским уравнением для электрона, однако все остальные называют это уравнением Дирака. Как говорил сам его первооткрыватель, это уравнение охватывает большую часть физики и всю химию. Если бы Дирак запатентовал своё уравнение, подобно тому как некоторые патентуют сегодня человеческие гены, то он стал бы одним из богатейших людей в мире. Ему платили бы отчисления с каждого изготовленного телевизора или компьютера.

[…] Для прогресса в физике и для перемен в наших представлениях о вселенной Дирак в XX веке сделал больше, чем кто-либо ещё, за исключением Эйнштейна. И это просто скандал, что на увековечивание его памяти мемориальной плитой в Вестминстере потребовалось так много времени.

Из этой речи Стивена Хокинга, как выдающегося теоретика и знаменитейшего учёного светила, вполне можно было бы заключить, что мировая наука – в отличие от британской публики и властей – с богатым научным наследием Дирака давно уже разобралась и по достоинству оценила. На самом деле, однако, всё тут далеко не так просто…

Вот как, к примеру, выглядит начальный фрагмент из совсем свежей публикации от редакции научного журнала Nature, где рассказывается о текущих делах и достижениях на пересечении физики и математики (Editorial: «The quantum Hall effect continues to reveal its secrets to mathematicians and physicists«, Nature, 29 July 2020):

В своей лекции 1939 года Поль Дирак сказал, что «чистая математика и физика становятся всё более тесно взаимосвязаны». И далее он развил данную идею до того, что два этих предмета в будущем могут объединиться таким образом, когда «каждая ветвь чистой математики будет иметь своё физическое приложение».

Прогноз Дирака как в ту пору был, так и поныне остаётся в высшей степени спекулятивным предположением. Собственно объединение этих областей не вызывает сегодня никаких вопросов или сомнений, ибо методы и подходы чистой математики используются в экономике, инженерных науках, финансах и так далее. Но нет, однако, никакой причины и никакого смысла в том, чтобы говорить, будто эти области становятся одним и тем же…

Последнее утверждение цитаты определённо вводит читателей в заблуждение. На самом деле сегодня имеется уже великое множество причин – не говоря уже об очень глубоком смысле – для взглядов на объединение математики и физики именно таким образом, как это предчувствовал Поль Дирак: «Когда у каждой ветви чистой математики имелось бы своё физическое приложение».

Более того, если присмотреться как следует, то уже ныне не только для любого физического приложения находится множество разных ветвей чистой математики, но и для каждой из ветвей математики можно отыскать целый букет разнообразных физических приложений.

Причиной же для столь интересных и богатых взаимопереплетений является то, что в основе всего – как природы вселенной, так и чистой математики – лежит один и тот же «генератор реальности». На протяжении тысячелетий человеческой истории этот «генератор» именовался у мистиков разными словами, подобающими той или иной эпохе. Для описания же его в терминах современной физико-математической науки наиболее адекватным оказывается ОНО. То самое Уравнение Дирака, что выбито на мемориальной плите пола в Вестминстерском аббатстве.

Самая же большая беда науки заключается в том, что по сути никто столь примечательный факт – во всех смыслах лежащий «прямо под ногами» у учёных – в упор, что называется, не видит. Пока не видит…

Имеет смысл разобраться, почему и как это происходит.

Читать «Дирак как предчувствие» далее

( Июль 2020, idb.kniganews )

Жанр сравнительных жизнеописаний всегда таит в себе неожиданные открытия и удивительно мощные параллелизмы. При важном условии, конечно, чтобы герои для сравнения были выбраны правильно…

В одной из недавних публикаций СМИ, посвящённых памяти выдающегося русско-американского математика Владимира Воеводского (1966–2017), для его независимого и трудно сочетавшегося с мейнстримом типа личности в качестве ближайших аналогов упоминали Галуа и Гротендика. То есть знаменитейших французских математиков, вплоть до конца жизни так и не вписавшихся в общепринятые нормы научного сообщества.

Гениальный Эварист Галуа (1811–1832), правда, погиб от ранения на дуэли в совсем ещё юном возрасте, абсолютно не понятый и отвергнутый академическим миром, а признание и славу получил лишь много десятилетий спустя после смерти. Александр же Гротендик (1928–2014), напротив, получил мировое признание уже в молодости, однако вскоре сам отверг академическую науку с её «неправильными» порядками и традициями, укрылся отшельником в глухой провинции, и там в добровольной самоизоляции дожил до 86 лет.

Что же касается Владимира Воеводского, то хотя и он, несомненно, тоже руководствовался всегда лишь собственными правилами, однако сильно отличался от Галуа и Гротендика своим куда более бесконфликтным характером. То есть он никого не обвинял, ни на кого не обижался, а просто жил и работал так, как ему нравилось. Поэтому академическая наука, с одной стороны нередко напрягалась от того, что Воеводский всё и всегда делает «не как все», но со стороны другой это не мешало ей признавать высочайший класс и новаторский уровень его математических достижений.

Побочным эффектом этого «мирного сосуществования» разных подходов к деланию науки стало то, что наиболее странные из занятий Воеводского, абсолютно неподобающие для авторитетного академического учёного, – его целенаправленные исследовательские контакты с потусторонним миром – официальным научным сообществом просто игнорировались. Этих исследований как бы и не было вовсе, практически никто из коллег ими не интересовался, а во всех официальных биографических текстах о Воеводском про эти его дела вообще не упоминают.

Самое же интересное, что именно этот примечательный аспект в биографии Воеводского напрямую сопрягает его жизнь с биографией другого выдающегося учёного, одного из знаменитых российских математиков XIX века, Михаила Васильевича Остроградского (1801-1861).

Если копнуть имеющиеся жизнеописания Остроградского чуть поглубже, то совсем несложно увидеть, что в весьма зрелые уже годы убеждённый материалист и учёный вдруг испытал преображение, активно занявшись общением с потусторонним «духовным миром» – в точности так же, как и Владимир Воеводский полтора столетия спустя.

Более того, если аккуратно сопоставить известные вехи-эпизоды в биографиях двух выдающихся учёных, а также психологические особенности их независимых личностей, то становится очевидно, что Михаил Остроградский – это и есть самый близкий аналог Воеводского в истории математической науки.

А скорее всего, перед нами просто разные инкарнации-воплощения одной и той же талантливой сущности, высоко продвинувшейся в своей эволюции…

Читать «Остроградский – Воеводский, или То, о чём не говорят» далее

( Май 2020, idb )

Среди эстетов и прочих искусствоведов-надомников имеет хождение особый термин «сортирный юмор» – для обозначения примитивных и грубоватых шуточек на уровне анально-генитальной тематики. Но в этих низменно-сортирных слоях смешного, что любопытно, порою обнаруживаются и шутки совсем иного, интеллектуально возвышенного рода. Типа тонкого космического юмора…

Людей, сидящих по нужде в уединении, могут посещать, как известно, самые разные мысли. У кого-то они прилетают совсем издалека, у кого-то порхают поблизости. А бывает и так, что мысли и не летают вовсе, а цепляются к попавшимся на глаза предметам. Таким, скажем, как рулон туалетной бумаги, или даже к тому, что от него в итоге осталось.

Когда бумага в рулоне заканчивается, то от него остаётся мягкий картонный цилиндр, обычно именуемый техническим термином «втулка». Подавляющее большинство народа такие втулки просто выбрасывает в мусор или спускает в унитаз. Некоторые люди – обеспокоенные массовым загаживанием природы и/или просто мыслящие креативно – придумывают этим штукам разнообразные формы полезного применения в быту (попутно, бывает, публикуя в интернете статьи про 25 способов новой жизни для картонных трубок из сортира).

Ну а кто-то ещё, наконец, отыскивает для каркасов туалетных рулонов совсем уж неожиданные, воистину нетривиальные и интеллектуально изощрённые формы перевоплощения. Здесь, в частности, будет небольшой рассказ про забавы программиста-физика Рики Ройссера (Ricky Reusser), которого задачи в области нанотехнологий и пространственной топологии молекул сделали ещё и профессионалом-разработчиком компьютерных программ для визуального 3D-моделирования.

Столь специфический комплекс профессиональных знаний и навыков, несомненно, сыграл решающую роль в том, что Ройссеру удалось сотворить из втулок от рулонов туалетной бумаги. Не то чтобы великое открытие, но весьма наглядный и оригинальный (плюс очень дешёвый) способ моделирования углеродных нанотрубок, молекул-фуллеренов и прочих сложных пространственных структур типа кристаллов на их основе.

Но прежде чем рассказывать об изобретении Рика Ройссера, полезно вспомнить совсем другую историю. Вокруг куда более грандиозного изобретения, также связанного, что примечательно, не только с топологией квазикристаллов, но и с рулонами туалетной бумаги…

Читать «Странный космический юмор» далее

(Ноябрь 2019, idb)

Почему в мире так отчетливо, тревожно и быстро нарастает имущественное неравенство? Пытливые исследователи самых точных из наших наук – физики и математики – как следует проанализировали эту проблему. И нашли неожиданный ответ у природы. Или так им показалось, формулируя аккуратнее…

Недавно опубликованный здесь же материал «Климат и догмы, диссиденты и ереси» охватывает вроде бы множество разных тем, однако на самом деле посвящен теме всего лишь одной. Только одной, но чрезвычайно важной для всей нашей жизни.

О том, что наука в нынешние времена очень сильно рискует превратиться в очередную официальную религию, обслуживающую кучку олигархов. Группу людей – а также и не совсем людей – бесконтрольно манипулирующих государствами и народами ради своих собственных выгод и интересов. Таких интересов, которые не имеют практически никакого отношения к счастью и благополучию всего остального человечества .

Бесконтрольность же тут происходит по той причине, что народ всяческими мерами отвлекают от самого главного процесса – гигантского сосредоточения богатства и власти в руках олигархической верхушки. Механизмы для отвлечения внимания изобретаются разнообразные – от абсолютно примитивной, но четко отлаженной индустрии развлечений и вплоть до нескончаемых сражений с очень изощренными, искусственно сконструированными угрозами. Вроде войны с терроризмом, войны с наркотиками или борьбы с глобальным потеплением.

Что же касается той самой мудрой части народа, которая занимается научным познанием мира и общества, то здесь картина с пониманием происходящего сложилась в высшей степени неоднозначная и противоречивая. С одной стороны, практически всем из ученых очень хотелось бы работать не на олигархов, а на благо человечества в целом, ясное дело. Но со стороны другой, однако, и ученые – такие же люди, как и все остальные. Кому хочется в жизни и успешной карьеры, и материального благополучия. Но именно это, к великому сожалению, с благом для всего человечества пока что у нас сочетается очень туго. Поэтому и приходится подстраиваться под реалии жизни…

Таковы законы природы?

В самом свежем, ноябрьском выпуске журнала Scientific American (или «Научный американец» по-русски), заслуженно имеющем репутацию одного из лучших на планете изданий о жизни современной науки, опубликована большая статья как раз именно об этом. О том, как физики и математики, то есть ученые из области наиболее строгих и точных исследований природы, не только ищут, но и успешно находят решения для одной из наиболее насущных проблем человечества – для проблемы быстро растущего имущественного неравенства.

В колонке редактора, традиционно открывающей публикации журнала, об этой новой работе ученых рассказано в прямом её сопоставлении с кавер-стори, главной темой номера от нобелевского лауреата Фрэнка Вильчека, знакомящего читателей с открытым им природным феноменом «кристаллов во времени»:

По случайному совпадению получилось так, что несколько научных концепций, фигурирующих в истории от Вильчека – фазовые переходы, нарушения симметрии и «исключительная» точность соответствий – также появляются далее и в более приземленном контексте. В статье математика Брюса Богосяна «Неизбежное казино», рассказывающей о происхождении экономического неравенства. Оказывается, пишет он, причины этого «были спрятаны прямо у нас перед глазами».

Аналитические модели, разработанные физиками и математиками для решения данной проблемы, демонстрируют такие особенности работы, которые характерны для физических систем природы. Откуда нам открывается, что в условиях экономики свободного рынка капитал естественным образом перетекает от бедных к богатым, приводя к формированию олигархии. Новые модели ученых, надо подчеркнуть, в точности соответствуют тому чрезвычайному сосредоточению богатств, которое мы наблюдаем сегодня в мире.

Если развернуть это краткое представление работы несколько подробнее, то суть статьи профессора Богосяна в следующем.

Экономическое неравенство, как многие наверняка наслышаны, быстро нарастает сейчас повсюду, причем наивысший уровень имущественного расслоения для развитого мира наиболее отчетливо отмечается в США. Но одновременно имущественное неравенство столь же тревожно и быстро растет и во множестве других, самых разных стран, вроде России, Индии, Бразилии и так далее. Если в 2010 году всего 388 богатейших из людей владели в совокупности таким же состоянием, как беднейшая половина всего населения планеты (а это 3 с половиной миллиарда человек), то сегодня, по оценкам Oxfam, половиной всеобщего состояния человечества владеют уже лишь 26 супербогачей. Причем статистика свидетельствует, что данный процесс стремительного перераспределения богатств и их концентрации в руках небольшой верхушки происходит почти во всех странах планеты.

Ученые, конечно же, хотят понять механизмы происходящего, для чего конструируют компьютерно-математические модели, наиболее адекватно воспроизводящие наблюдаемый феномен. И вот недавно исследователям из университета Tufts (где работает и Богосян) удалось разработать такую примечательно простую модель для механизма распределения всеобщего богатства, которая с небывалой точностью может воспроизводить наблюдаемый уровень неравенства в целом ряде стран. Поскольку разработкой моделей занимались физики и математики, вряд ли удивительно, что их модели экономики свободного рынка демонстрируют известные особенности макроскопических физических систем природы. Такие, в частности, особенности, как фазовые переходы, нарушения симметрии и дуальные соответствия.

Суть этого «большого экономического открытия» вполне можно объяснить и подоходчивее, используя простые слова и аналогии. Однако для того, чтобы эта простая суть воспринималась как можно более адекватно, полезно сначала рассказать о двух примечательных историях «большого научного успеха» – имеющих самое прямое отношение и к нынешней разработке.

Читать «Как бы «новый закон природы»» далее