Двоеточие ПСА, Хопф и Восьмёрка Зельдовича

( Ноябрь 2022, idb@kiwiarxiv )

Продолжение цикла «Одна Чёрная Птица рассказала» – о раздвоении и уменьшении симметрии. То есть опять про универсальный и сразу засекреченный принцип Паули, но теперь о его проекции в область чистой математики. Вот только чистой от физики математики, как постепенно обнаруживает наука, в природе просто не бывает…

Часть первая. 1935-1937-1939…

Выдающийся математик Владимир Арнольд (1937-2010), знаменитый не только своими достижениями, но и радикальными взглядами на дела науки, считал необходимым постоянно напоминать о такой идее [i1]:

Вопреки мнению большинства современных математиков, я, вслед за Пуанкаре, считаю математику частью физики, т. е. экспериментальной наукой. Слово «математика» означает «точное знание», и соответствующие открытия были получены из наблюдений явлений природы. [o1]

Из этих слов несложно понять, что «большинство современных математиков» отнюдь не считает свою науку частью физики. Более того, в их среде и поныне общепринятой остаётся давняя традиция чётко делить эту территорию знаний на математику «чистую» (сосредоточенную на формальных аксиомах и абстрактных мирах аксиоматических построений) и математику «прикладную». Занимающуюся проблемами реального мира, включая, среди прочего, и задачи науки физики.

По иронии судьбы именно во Франции, где жил и работал великий учёный-универсал Анри Пуанкаре, не признававший такое разделение и всегда сопрягавший математику с решением физических проблем, через два десятка лет после его смерти, в 1935 родился принципиально иной подход к деланию математики. Получивший собственное имя «Николя Бурбаки» – как коллективный псевдоним группы молодых-талантливых учёных – этот подход полностью и решительно отверг взгляды Пуанкаре.

Полагая математику не только самой строгой, но и вполне самодостаточной наукой, бурбакисты (как их обычно именуют) предпочитают заниматься абсолютно стерильной аксиоматикой и формальными построениями, полностью очищенными от каких-либо взаимосвязей с прочими областями естествознания и их практическими задачами.

Случайно так получилось или нет, достоверно неизвестно, но вскоре после рождения школы Бурбаки в этот мир пришёл учёный-универсал Владимир Арнольд (1937 г.р.). По достижении зрелости и научной известности, Арнольд – сначала в СССР, а затем и во Франции – стал одним из самых страстных и непримиримых борцов с весьма влиятельной в послевоенной математике «сектой бурбакизма».

Коль скоро нас здесь интересуют не столько идеологические битвы математиков, сколько тесные взаимосвязи математической науки с наукой физикой, то очевидно пора – по некоторым весьма глубоким причинам – процитировать соответствующие соображения на данный счёт от П.А.М. Дирака. Как одного из главных «отцов» квантовой физики и автора одного из самых загадочных физико-математических открытий XX века – квантового релятивистского уравнения (также известного под именем его первооткрывателя).

Уже самая первая из «философских» лекций Поля Дирака, прочитанная им в 1939 году, носила характерное название «Отношение между математикой и физикой» – и содержала следующее интересное наблюдение [o2]:

Чистая математика и физика становятся связанными все теснее, хотя их методы и остаются различными. Можно сказать, что математик играет в игру, в которой он сам изобретает правила, в то время как физик играет в игру, правила которой предлагает Природа.

С течением времени, однако, становится все более очевидным, что правила, которые математик находит интересными, совпадают с теми, которые избрала Природа.

В поддержку этого интуитивного наблюдения, как известно, в истории науки имеется великое множество разнообразных примеров. Но самый среди них впечатляющий, наверное, – это неожиданное открытие математиков Атьи и Зингера, сделанное в середине 1960-х годов. И подтвердившее интуицию Дирака с поразительной убедительностью.

Работая, как казалось исследователям, над сугубо абстрактной Теоремой об индексе, Майкл Атья и Изадор Зингер углубились в такие неведомые прежде недра чистой математики, где им удалось обнаружить удивительный объект-оператор. Своего рода математический генератор, порождающий все прочие соотношения и результаты для объединения весьма разных областей математики, прежде считавшихся отдельными друг от друга.

Самое же удивительное, что этот оператор-генератор оказался хорошо известен теоретикам квантовой физики. Ибо четвертью столетия ранее, в 1928, именно эту, по сути, формулу Поль Дирак неведомо как изобрёл и сделал основой своего знаменитого уравнения. Квантового релятивистского уравнения, успешно связавшего воедино столь разные вещи, как волновая природа материи, феномен спина частиц и эффекты относительности (деформаций) пространства-времени для больших скоростей. [i2]

Понятно, наверное, что этот в высшей степени примечательный факт совпадения операторов указывает на очень глубокие взаимосвязи между устройством математики и устройством физики (иначе именуемой Природа). Но вот как именно выглядит структура взаимосвязей в этих единых глубинах, понимания у науки и поныне нет даже близко.

Имеются, конечно, разного рода предчувствия авторитетных светил. Но светила эти, как известно, чаще всего друг с другом не согласны, отчего и разнообразные предчувствия их в ясную картину не складываются никак.

Разбираться с этими мутными вещами, впрочем, тут совершенно не хочется. Ибо гораздо интереснее рассмотреть нечто иное. То, как единый фундамент физики и математики на самом деле был определённо нащупан наукой очень давно, ещё в 1930-е годы. Вот только ключевые элементы этого коллективного открытия, к сожалению, заметить и постичь в ту пору учёные сразу не сумели.

А затем всем стало сильно не до этого…

Читать «Двоеточие ПСА, Хопф и Восьмёрка Зельдовича» далее