Сад сходящихся троп: Манин и Паули, Дирак и Шольце

( Март 2012 + Август 2020, idb.kniganews )

Сначала – весьма давний текст, ничуть не утративший своей актуальности и поныне. Скорее даже наоборот. Глубина и важность очерченной темы за прошедшее время проявлялись всё более отчётливо. Ну а далее – самое интересное. То, какими именно путями Большая Наука начинает постигать великую тайну нашего Со-Знания…

Манин и Паули (kn:2012)

Юрий Иванович Манин известен не только как выдающийся русский математик, но и как «просто мыслитель», интересно и содержательно пишущий на самые различные темы науки, культуры или истории.

Общее представление об этой второй, «нетехнической» стороне творчества Манина дает вышедший в 2008 году сборник «Математика как метафора» [1]. В данной книге собраны около двух десятков текстов ученого, написанных в течение примерно 30 последних лет и в разных ракурсах отражающих одну и ту же, в сущности, идею.

Идею о том, что математика не только способна давать поводы для глубоких нематематических размышлений, но и сама по себе является метафорой человеческого существования.

Если прибегать к известному набору ярлыков, которые принято навешивать на людей, способных четко формулировать свои мировоззренческие позиции, то Ю.И. Манин, несомненно, является платонистом. Причем сам он классифицирует себя даже еще более четко – как «эмоционального платоника» (а не рационального, поскольку, по убеждению ученого, никаких рациональных аргументов в пользу платонизма не существует [2]).

Трудно сказать про всех, но среди выдающихся математиков людей с подобными взглядами известно довольно много. Если охарактеризовать их точку зрения совсем кратко, воспользовавшись словами филдсовского медалиста Алена Конна, то свою профессиональную деятельность ученые-платонисты видят как исследование особого «математического мира». Такого мира, в независимом от людей существовании которого они ничуть не сомневаются и структуру которого они вскрывают. [3]

Более того, поскольку среди математиков по сию пору остается достаточное количество исследователей, активно интересующихся не только своей областью математических абстракций, но и новейшими достижениями ученых-физиков, идеи платонизма остаются тесно связанными с исследованиями природы реального мира. Причем на протяжении последних десятилетий эта неразрывная связь становилась все более и более очевидной.

Еще в 1987 году, почувствовав мощную тенденцию в квантовой теории струн, Юрий Манин сказал об этом примерно так: «Сегодня, вступая в последнюю четверть XX века, по крайней мере некоторые из нас снова испытывают древнее платонистское чувство, что математическим идеям каким-то образом суждено описывать физический мир, сколь бы отдаленными от реальности ни казались их истоки»…[4]

Данная цитата взята из весьма необычного, «метафизического» доклада Манина под названием «Размышления об арифметической физике». Сделан он был в первых числах сентября 1987 года в румынском курортном городке Пояна Брашов в Карпатах, где проходила международная Летняя школа по конформной инвариатности и струнной теории.

Выступая на этой конференции в качестве «профессионального теоретико-числовика и физика-любителя», Юрий Иванович эффектно продемонстрировал аудитории, что если ученые хотят быть последовательными в своих изысканиях, то им придется принять неправдоподобную, на первый взгляд, идею, согласно которой самые глубокие приложения в физике скоро получит теория чисел (или просто «арифметика», поскольку примерно с 1970-х годов среди специалистов по теории чисел особым шиком стало употребление этого – формально справедливого – термина для обозначения своего ныне в высшей степени нетривиального предмета.)

Не вдаваясь в физико-математические подробности этого выступления, здесь, тем не менее, полезно привести главный итог или «основную гипотезу» доклада Манина о природе нашего мира (цитируется дословно, выделения слов другим шрифтом наложены дополнительно для удобства сопоставлений):

На фундаментальном уровне наш мир не является ни вещественным, ни р-адическим: он адельный. По каким-то причинам, связанным с физической природой нашей разновидности живой материи (возможно, с тем, что мы состоим из массивных частиц), мы обычно проецируем адельную картину в вещественную сторону. С тем же успехом мы могли бы духовно проецировать ее в неархимедову сторону и вычислять наиболее важные вещи арифметически.

«Вещественная» и «арифметическая» картины мира находятся в отношении дополнительности, напоминающем отношение между сопряженными наблюдаемыми в квантовой механике.

На этой цитате пора перейти от выводов Манина к выводам одного из отцов квантовой механики, Вольфганга Паули. Подводя итог своим метафизическим размышлениям о природе мира, на рубеже 1940-50-х годов Паули писал про эти вещи так (см. подробности тут и тут):

«Когда люди говорят ‘реальность’, они обычно полагают, что речь идет о чем-то самоочевидном и хорошо всем известном; в то время как для меня это представляется наиболее важной и в высшей степени сложной задачей нашего времени – заложить новую идею реальности»[5] … «и самое оптимальное, если бы физика и душа представлялись как комплементарные аспекты одной и той же реальности»[6].

«По моему личному мнению, в будущей науке реальность не будет ни ментальной, ни физической, а каким-то образом обеими из них сразу, и в то же время ни той или другой по отдельности»…[7]

Даже ничего не понимая в свойствах p-адических чисел (от prime – простое число), в специфике неархимедова анализа или, тем более, в особенностях адельных конструкций и в парадоксах квантовой физики, внимательный читатель способен, тем не менее, заметить, что в словах Манина и Паули имеется подозрительно много общего.

Это взаимное соответствие оказывается еще более интересным, если учесть, что цитируемая здесь личная переписка Паули на «метафизические» темы в силу определенных семейных обстоятельств была впервые опубликована почти через полвека после смерти ученого, в 1990-е годы. Иначе говоря, в 1987 году Юрий Манин практически наверняка этих строк из писем Паули читать не мог.

Но при этом, именно в конце 1980-х, российский математик всерьез заинтересовался природой человеческого бессознательного, соответствующими теориями основателя аналитической психологии Карла Густава Юнга и его языком архетипов [8]. Вольфганг Паули, можно напомнить, все свои идеи о сведении двух миров в единую картину строил в непосредственном сотрудничестве с К.Г. Юнгом.

Также уместно подчеркнуть, что в качестве главного инструмента, который мог бы согласованно объединить два мира – ментальный и физический – Паули видел особый «нейтральный язык» синтеза на основе математики. Однако развить эти идеи до цельной теории, насколько известно, физику не удалось.

Ну а самое примечательное, что с той поры, как Юрий Манин прочел в г. Пояна Брашов свою необычную лекцию, поначалу наверняка удивившую физико-математическое сообщество, разным ученым удалось сделать огромное множество открытий, так или иначе подтверждающих «основную гипотезу» доклада.

Среди наиболее ярких работ этого ряда можно упомянуть, в частности, конструкцию Алена Конна, который к концу 1990-х годов через элегантное объединение математики аделей с квантовой физикой сумел «почти доказать» одну из величайших математических задач за последние полторы сотни лет – гипотезу Римана о нулях дзета-функции (т.е. об очень красивой закономерности в распределении простых чисел).

Чего именно недостает в доказательстве Конна, каким образом его конструкция может быть связана с «музыкой простых чисел» и, самое любопытное, со структурой ментальной стороны реальности – все это постепенно проступает ныне в новых открытиях исследователей.

ССЫЛКИ
[1]. Манин Ю.И. «Математика как метафора». Москва. МЦНМО, 2008. http://math.ru/lib/484
[2]. Юрий Манин. «Не мы выбираем математику своей профессией, а она нас выбирает». Интервью газете «Троицкий вариант», №13, 30 сентября 2008. http://www.scientific.ru/trv/13N.pdf
[3]. Connes Α., Lichnerowicz Α., Schiitzenberger Μ. P. «Triangle of thoughts». American Mathematical Society, 2001.
[4]. Manin Yu. I. «Reflections on arithmetical physics». In Conformal Invariance and string theory. Poiana Brasov, 1987. Boston, MA: Academic Press, 1989. P. 293—303.
[5]. Pauli to Fierz, 12 Aug. 1948, [971], PLC III (Wolfgang Pauli: Wissenschaftlicher Briefwechsel mit Bohr, Einstein, Heisenberg u.a. ed. Karl von Meyenn. Vol 3. Springer-Verlag)
[6]. Pauli, W: Der Einfluss archetypischer Vorstellungen auf die Bildung naturwissenschaftlicher Theorien bei Kepler (1952). English translation in: C.P. Enz and K. von Meyenn (eds.), Wolfgang Pauli. Writings on Physics and Philosophy, Springer, Berlin 1994
[7]. Pauli to Pais, 17 Aug. 1950 [1147], PLC IV/1 (K. v. Meyenn, ed.: Wolfgang Pauli, Wissenschaftlicher Briefwechsel, Springer-Verlag, Vol IV, 1996)
[8]. Манин Ю.И. «Математика как метафора». Москва. МЦНМО, 2008, стр. 253 (эссе «Аркадий, Борис, Володя»)

[ конец текста, опубликованного в 2012 на сайте kniganews ]

# Август 2020 #

Случилось так, что в ноябре 2011 года, когда на просторах интернета был запущен проект kniganews, на небосклоне науки математики одновременно начался восход новой очень яркой звезды по имени Петер Шольце. Первым сигналом этого восхода стала публикация на сайте препринтов arxiv.org большой статьи под названием «Перфектоидные пространства» (Peter Scholze, Perfectoid spaces, arXiv:1111.4914 ).

Автор столь замечательной работы, молодой германский учёный Петер Шольце, существенно по-новому подошёл к исследованиям p-адических чисел, разработав свой собственный математический аппарат под названием «перфектоидные пространства». Неожиданно мощные результаты, полученные Шольце с помощью своих идей и конструкций, практически сразу привлекли внимание большой науки. Или, как пишут ныне в энциклопедиях: «Эта новаторская работа вызвала удивление и восхищение в математических кругах»…

В 2012 году Шольце блестяще защитил диссертацию на данную тему и практически сразу же в 24 года стал самым молодым в Германии полным профессором. Начиная с этого момента практически каждый год от Петера Шольце появлялись новые интересные работы, где в содружестве с другими авторами удавалось открывать новые горизонты в уже изведанных областях и наводить мосты между существенно разными математическими территориями.

Как естественное отражение этих выдающихся успехов, практически каждый год стал приносить молодому учёному одну за другой чуть ли не все из тех почётных наград и премий, которыми принято отмечать успехи в математике. Одну из самых высших математических наград, Медаль Филдса (неофициально почитаемую как «эквивалент Нобелевской премии»), Шольце получил в 2018 – «за преобразование арифметической алгебраической геометрии над p-адическими полями с помощью созданных им перфектоидных пространств, с приложениями в теории представлений Галуа, а также за развитие новых теорий когомологий».

Поскольку одновременно с этой высокой наградой Петер Шольце занял пост директора Математического Института им. Макса Планка в Бонне, где в предыдущий период 1990-2000-х годов директором был хорошо знакомый нам Юрий Иванович Манин, здесь самое время отвлечься на некоторое время от блестящих достижений в сферах «чистой», то есть сугубо абстрактной науки. И присмотреться к успехам коллег иного рода – что были достигнуты в таких областях соприкосновения прикладной математики и физики, где изучаются структуры и механизмы Сознания. Даже если сами исследователи пока не осознают, что именно они тут изучают…

#

Предельно краткий обзор – о междисциплинарных достижениях p-адики в делах сближения математики и физики с науками об устройстве живых организмов от их биологии до работы сознания – удобнее всего сделать с опорой на тексты сайта kniganews. Ибо более информативных и компетентных обсуждений столь интересной темы на общедоступном уровне пока в интернетах не наблюдается почему-то.

В 2013 году, в рамках проекта-путеводителя «Там за облаками», были опубликованы два больших текста «Числа» и «Формы» , развернуто рассказывающие об арифметике p-адических чисел и аделей, с одной стороны, о геометрии фибрации Хопфа со стороны другой, и о том, как важно для понимания Сознания объединить эти две «чисто математические» конструкции в одну цельную. Чрезвычайно полезную в практическом познании и освоении Природы.

Названия этих двух текстов следует особо подчеркнуть по той причине, что пять лет спустя, в 2018, большая научно-популярная статья известного журнала, представлявшего публике нового, одного из самых молодых в истории филдсовских лауреатов по имени Петер Шольце, была озаглавлена так: «Мастер Чисел и Форм, переписывающий заново арифметику» («A Master of Numbers and Shapes Who Is Rewriting Arithmetic» by Erica Klarreich, Quanta Magazine, 1 August 2018 ).

Текст же ТЗО «Числа», в частности, сначала рассказывает о том, как на рубеже XIX-XX столетий, вместе с рождением в физике теории Планка о дискретных квантах энергии, в математике практически одновременно появилась существенно новая – дискретная – система арифметики, получившая название «p-адические числа». А еще через полтора десятка лет, одновременно с рождением гравитационной теории Эйнштейна или ОТО, в теории p-адических чисел была доказана теорема Островского, согласно которой в математике может быть только два возможных варианта для представления непрерывного множества чисел – либо через знакомые всем числа вещественной прямой (действительные), либо через необычные p-адические, имеющие гранулированную структуру и древовидную схему порождения…

По каким-то необъяснимым причинам история освоения p-адических чисел на протяжении XX века всё время складывалась так, что совершенно особую роль в их развитии играли математики российского происхождения. В середине 1980-х годов, в частности, возрождение интереса к р-адике среди прикладных математиков и физиков-теоретиков было вызвано целым рядом новаторских работ от Василия Владимирова и Игоря Воловича. А первое формальное описание ментальных процессов и работы сознания в терминах р-адической арифметики сделал в 1990-е годы Андрей Хренников.

В 2016 году принципиально важный прорыв в деле объединения «чисел» p-адики и «форм» фибрации Хопфа осуществил американский физик-теоретик Стивен Габсер. В содружестве с международной командой единомышленников Габсер опубликовал новаторскую работу «р-адическое представление AdS/CFT-соответствия» («p-adic AdS/CFT», arXiv:1605.01061), где обнаруживаются не только очень сильные факты для новых – и во многом более естественных – взглядов на структуру AdS/CFT, соединяющую квантовую физику и гравитацию в одно целое на основе голографического принципа, но и указания на куда более давние открытия. Большие открытия, сделанные великими теоретиками Полем Дираком и Вольфгангом Паули, однако так и не получившие надлежащего развития в своё время…

Обо всех этих вещах с подробностями рассказывает большой текст «Sci-Myst: Метафора дерева» . А кроме того, там же продемонстрированы и примечательные взаимосвязи между работами Стивена Габсера в области теории струн и работами Юрия Манина в области тайн устройства сознания. В частности, в области языкознания и топологии «семантических пространств», демонстрирующих общие математические структуры для лингвистики и для конфигурационных пространств, описывающих фазовые состояния материи.

Важнейшим связующим звеном для сведения столь разных областей в одну оказывается математический физик Матильда Марколли. Выдающаяся итальянская исследовательница, много и плодотворно работающая в совместных проектах как с математиками Аленом Конном (на стыке квантовой гравитации и гипотезы Римана в теории чисел) или Юрием Маниным (на стыке вычислительной лингвистики и топологии, к примеру), так и с физиками-теоретиками. Со Стивеном Габсером, в частности, – в области «p-адического описания AdS/CFT».

Рассказ о множестве примечательных работ Марколли, включая и особо интересные здесь p-адические исследования совместно с Габсером, можно найти среди прочих сюжетов обширного материала 2017 года «Sci-Myst: Структура Лавины»  . Вот только текст этот, озаглавленный характерным и несколько тревожным словом из опасной жизни гор, оказался, к сожалению, в некотором смысле печально пророческим. В течение 2018-2019 гг. трагически оборвались жизни двух из главных героев истории, выдающихся теоретиков Шоучен Чжэня и Стивена Габсера (подробности см. в тексте «Вершины погибших альпинистов» ) .

Из-за этих грустных потерь продвижение науки на важных направлениях к разгадке «Главной тайны Со-Знания» ощутимо замедлилось, ясное дело. Однако теперь главные роли переходят к новым, ещё более сильным лидерам.

#

Математик Юрий Манин родился в 1937 году. Математик Петер Шольце – ровно на полвека позже, в 1987. Юрий Манин был директором Математического института Макса Планка в Бонне с 1993 по 2005 годы. Петер Шольце стал директором этого же Института в 2018, в необычно молодом для таких должностей 30-летнем возрасте.

Пока что трудно предсказывать, когда именно ведущие математики вообще и Шольце в частности сделают воистину великое и поразительное открытие – о том, что изучаемый ими мир абстрактной математики на самом деле описывает мир Сознания Вселенной. Но все пути ныне так или иначе ведут науку именно в этом направлении. Так уж устроен здесь «сад сходящихся троп».

В этом контексте совершенно по-особому звучат следующие слова Петера Шольце с оценкой своих успехов и достижений в математике:

Сам Шольце считает свою работу простой разминкой. «Я пока нахожусь в фазе изучения того, что уже есть, и просто формулирую знания по-своему, – говорит он. – Пока что я не ощущаю, что действительно начал заниматься исследованиями».

Насколько можно судить по публикациям Шольце на сайте препринтов (последние из которых — все коллективные — были в прошлом году, причём там он явно выступает в качестве скорее сведущего консультанта, нежели «мотора»), учёный всё ещё так и не нашёл для себя область настоящих исследований.

Когда же Шольце нащупает, наконец, где же прячется это ОНО, по-настоящему никем пока не исследованное, вот тогда-то и начнётся самое интересное…

[ The END]

Дополнительное чтение:

Там за облаками: «Числа»

Там за облаками: «Формы»

Sci-Myst: Метафора дерева

Sci-Myst: Структура Лавины

Главная тайна Со-Знания

# #

Основные источники:

Klarreich, Erica (28 June 2016). «The Oracle of Arithmetic». Quanta Magazine.
Имеется русский перевод на Хабре: «Оракул от арифметики».

Klarreich, Erica (1 August 2018). «A Master of Numbers and Shapes Who Is Rewriting Arithmetic». Quanta Magazine.