Posted on Автор: idboris

Фундамент Хопфа (геометрия и материя разума 3)

( Июнь 2020, idb.kniganews )

Сознание и материя, пространство и время – всё это разные стороны одного и того же. Единой живой системы, вполне поддающейся обстоятельным физико-математическим исследованиям. И осмысленным описаниям с любым уровнем сложности. Или же простоты. (Начало см. здесь и тут.)

(5) Сфера Паскаля и фибрация Хопфа: от страха к постижению

5.1_Начало науки – как начало Большого Страха

Четыреста двадцать лет тому назад, 17 февраля 1600 года, по приговору трибунала инквизиции в Риме заживо сожгли на костре Джордано Бруно. Чудовищно жестоким способом был публично казнён человек, не совершивший никаких преступлений – кроме «преступления мысли».

Конкретный перечень тех обвинений, что был выставлен церковью против Джордано, принято считать не сохранившимся. Не исключено, что в какой-то момент истории соответствующие документы были уничтожены совершенно умышленно. А может, и сохранились на самом деле, но остаются глубоко засекреченными в архивах Ватикана. История давняя и покрытая мраком, как говорится.

Как бы там ни было, суть идей и содержание учения Джордано Бруно никогда тайной не являлись, поскольку он совершенно открыто говорил об этом в своих лекциях и книгах. Отчего вскоре после казни еретика все его тексты были занесены Ватиканом в официальный список запрещённых книг и находились там вплоть до последней версии этого документа, издания 1948 года.

Более того, в отличие от истории с Галилео Галилеем, также репрессированным инквизицией «за вредные идеи» примерно в тот же период, но давно уже реабилитированным, куда более жестокая расправа над Джордано Бруно и поныне считается в Ватикане «исторически оправданной». Иначе говоря, идеи этого мыслителя даже сегодня расцениваются церковью как вредные, подлежащие осуждению и запрету…

По этой причине вполне естественно задаться вопросом: Что же такого особо интересного и возмутительного содержалось в учении знаменитого еретика-мистика, отчего его идеи до сих пор – спустя четыреста с лишним лет – неким авторитетным и весьма влиятельным инстанциям по-прежнему хотелось бы искоренить?

Поскольку ключевой документ – собственно перечень из восьми обвинений приговора – в этой истории отсутствует, прямой и ясный ответ на столь конкретный вопрос получить затруднительно. Но из сохранившихся материалов многолетних допросов Бруно достоверно известно, что претензии у церкви вызывали очень многие пункты его обширного учения об устройстве природы и божественного – ибо всё это не только ставило под сомнение религиозные догмы, но и противоречило текстам Библии.

Возмутительно противоречили писанию, в частности, идеи Джордано о бесконечности вселенной и множестве обитаемых миров. Пантеистические идеи о том, что бог и вселенная – это одно и то же. О том, что божественное всегда находится близко, «ибо оно внутри нас ещё в большей степени, чем мы сами внутри нас». Созвучные идеи панпсихизма о том, что мир устроен из неразложимых элементов всего сущего – монад, одновременно обладающих материальностью и психикой. Так что бог – это монада монад…

Список ересей в учении Джордано Бруно об устройстве природы, бога и человека оказывается весьма обширным, поскольку охватывает и развивает множество тех гностических идей «о сокровенных знаниях», что были постигнуты и записаны другими мистиками самых разных культур на протяжении нескольких тысячелетий человеческой истории. С тех пор, фактически, как существует письменность.

Почти все из идей гностицизма носят отчётливо философский, метафизический характер. Иначе говоря, для точных наук вроде математики ценности в них особой не усматривается, ибо проверить подобного рода гипотезы строгими научными методами не представляется возможным. Так, во всяком случае, обычно принято считать.

Но вот если посмотреть на то же самое несколько иначе, то картина получится существенно другая.

Например, в одной из знаменитых работ Джордано Бруно, носящей название «О причине, начале и едином», имеется следующее описание мироздания: «Мы можем с уверенностью утверждать, что Вселенная — вся центр, или что центр Вселенной находится везде, а окружность нигде»…

Не подлежит сомнению, что здесь говорится о вполне конкретных – пусть и необычных – геометрических свойствах мироздания. Особый же интерес именно эта геометрия представляет по той причине, что практически точно такое же – почти слово в слово – описание для устройства вселенной (или, эквивалентно, бога) встречается в текстах очень многих мистиков. Начиная с загадочного собрания книг Corpus Hermeticum, приписываемых древнеегипетскому Тоту или, именуя иначе, Гермесу Трисмегисту в терминах греко-античной традиции.

В одной из древних книг «герметического собрания Тота», носящей название «Асклепий», имеется такая формулировка: «Бог есть умопостигаемая сфера, центр которой находится везде, а окружность нигде».

Последним, наверное, из настоящих учёных-мистиков, кто после Джордано Бруно глубоко и всерьёз размышлял над этой загадочной геометрией, был Блез Паскаль (1623-1662). В его текстах обнаруживается следующая модификация той же самой формулы: «Природа — это бесконечная сфера, центр которой везде, а окружность нигде».

В середине XX века писатель Хорхе Луис Борхес, знаменитый мастер библиотечных раскопок, скрупулёзно собрал все эти факты в своём очерке-расследовании под названием «Сфера Паскаля». И особо отметил такой нюанс из истории рождения данной строки в рукописях учёного:

«Природа — это бесконечная сфера, центр которой везде, а окружность нигде». В таком виде публикует этот текст Бруншвиг, но критическое издание Турнёра (Париж, 1941), воспроизводящее помарки и колебания рукописи, показывает, что Паскаль начал писать слово effroyable (устрашающая): «Устрашающая сфера, центр которой везде, а окружность нигде»…

Блез Паскаль, один из величайших умов XVII века, наряду с Галилеем, Бэконом и Декартом по праву входит в блестящую плеяду основателей современной науки. Такой науки, которая помимо логики умопостроений в не меньшей степени должна опираться на прочную математическую основу теорий и важность их экспериментальных проверок.

Но Паскаль, однако, был ещё и глубоко верующим человеком, на пике научных успехов пережившим мощнейший религиозно-мистический опыт. Который в итоге фактически полностью отвратил его от физико-математических исследований. А заодно и от идей о научных подходах при размышлениях о природе души и разума. Как от занятий «греховных», очевидно.

Философские взгляды другого великого мыслителя той эпохи, Рене Декарта (1596-1650), существенно отличались от взглядов Паскаля, как известно. Однако и он в своём очень влиятельном учении об устройстве природы предпочёл, по сути дела, полностью устраниться от выдвижения идей относительно физико-математических основ в устройстве души. Тело человека Декарт отождествил с материей, сознание – с духом, а поскольку все его физические и математические рассуждения относятся только к материи, то сознание, получается, ничего общего с устройством материи просто не имеет…

Формулируя то же самое чуть по-другому, итог здесь получился следующий. Если для религиозного мистика Паскаля геометрия природы предстала в виде загадочной бесконечности Сферы, разверзающейся в свой центр повсюду и страшной для постижения, то рациональный Декарт предпочёл держаться от опасных еретических идей в духе Джордано Бруно просто как можно подальше. Что, впрочем, не особо ему помогло – вскоре после смерти мыслителя все декартовы книги были также занесены Ватиканом в Индекс запрещённой литературы.

Результатом же таких раскладов стало вот что. Именно тогда – на самом начальном этапе формирования современной науки – совместными усилиями как церкви, так и наиболее видных учёных эпохи, фактически, для исследований были установлены строжайшие запреты на уровне религиозных табу. Прежде всего, был поставлен пусть и неявный, но очень мощный психологический барьер, оградивший всю область психики/сознания от сколь-нибудь серьёзных физико-математических исследований.

Самое же здесь интересное – это то, насколько эффективно работают подобные табу, густо замешанные на Большом Страхе. Церковь по сию пору так и не раскаялась в жестоком и преднамеренном убийстве Джордано Бруно за преступные мысли, а вся современная наука, давно вроде бы освободившаяся от церковной опеки, до сих пор не имеет ни малейшего представления об устройстве физико-математической конструкции в основах Сознания. Единого сознания как человека, так и вселенной, и всего в ней существующего.

Совершенно неверно, впрочем, было бы говорить, будто никто из учёных даже не пытался преодолеть эти давние и по всему вредные, тормозящие прогресс барьеры. В науке всегда находились, конечно же, настойчивые и целеустремлённые таланты, отвергавшие искусственные запреты на обретение знаний. Причём не раз случались даже такие эпизоды, когда и направление исследований было выбрано в целом верно, и коллектив дарований собирался подобающий. Но вот почему каждый раз всё заканчивалось неудачей – с этим вопросом имеет смысл разобраться. Хотя бы в общих чертах, как минимум. Ибо история таких неудач продолжается и поныне.

Ну а критерием реального здесь продвижения, ясное дело, естественно выбрать умопостижение геометрии вселенской Сферы, на протяжении тысячелетий занимающей размышления и медитации мистиков. Той самой – загадочной, сверхразумной и объединяющей всё сущее – сферы, центр которой везде, а край нигде…

5.2_Топология открытий: узлы идей и трюки с их подменой

Величайшим достижением науки восемнадцатого столетия – как «века просвещения» – можно считать полное освобождение физико-математических исследований от оков церковной схоластики и догматики. Пусть это было достигнуто путём отказа от научных подходов к изучению души и сознания, однако компромисс того стоил. Ибо огромные успехи учёных на множестве других направлений несомненны и общеизвестны.

Кроме того, ко второй половине следующего, девятнадцатого столетия точным наукам удалось наработать уже столь внушительный массив новых знаний, который позволял – хотя бы в принципе – подходить к освоению великих еретических идей Джордано Бруно на существенно иной основе. Теперь уже куда более прочно подкреплённой твёрдыми научными фактами и формулами.

Совсем не случайность, конечно же, что учение и имя Джордано не только не были забыты, но и, напротив, получили более чем заметное возрождение – когда сторонники науки и просвещения воздвигли ему памятник в 1889 году. Причём установить монумент удалось именно там, на Площади Цветов в Риме, где великого мыслителя и визионера когда-то казнили. Об этом же напоминает и надпись на постаменте: «Джордано Бруно — от столетия, которое он предвидел, на том месте, где был зажжён костёр».

Вряд ли есть смысл затевать сегодня споры о том, кого из великих учёных XIX века следовало бы считать наиболее достойным и последовательным продолжателем дела Джордано. Но вот если бы у историков имелась полная научная биография математика и философа Уильяма Клиффорда, содержащая обстоятельный разбор всех его трудов и достижений, то было бы не слишком сложно наглядно продемонстрировать нечто иное.

Продемонстрировать то, сколь удивительно близки на самом деле могут быть ключевые идеи мировоззрения у монаха-мистика эпохи Возрождения и у подчёркнуто рационального учёного-материалиста, в либеральные новые времена имевшего возможность уже открыто рассуждать о преимуществах атеизма и ущербности слепой религиозной веры.

Полноценной научной биографии Клиффорда, однако, у человечества за полтора столетия так и не появилось, да и задачи у затеянного здесь расследования существенно иные. А потому целесообразно рассмотреть две такие темы – очевидно сопряжённые друг с другом и со всей этой историей в целом.

Во-первых, важно увидеть и понять, как Программа Клиффорда естественным образом собирала и объединяла в согласованное целое важнейшие достижения науки XIX века. В таком сочетании эти идеи обеспечивают не только естественный переход к новой физике следующего, двадцатого века, но и делают кое-что ещё. Наряду с единой и самосогласованной – геометрической – основой для квантовой механики и эйнштейновой теории гравитации, эти идеи позволяют органично встраивать в картину природы также и физику/геометрию «материи разума», как называл это Клиффорд.

А во-вторых, столь же важно понимать и то, каким образом в так называемой «официальной» или мейнстрим-науке происходит подмена важнейших идей – для соблюдения давних табу. Понимать то, в частности, как были полностью выхолощены гностические идеи Джордано о единой духовной природе вселенной и человека, а в качестве научного наследия от мыслителя остался один лишь голый, отнюдь не свойственный Бруно материализм.

По сути тогда же, в начале XX века из физики была выпилена принципиально важная концепция материального эфира, вместо которого остались абстрактная пустота вакуума и столь же абстрактная математика «силовых полей». А вместо «здравого смысла точных наук» (название одной из клиффордовых книг) в науке воцарились релятивизм Эйнштейна и принцип комплементарности Нильса Бора (в принципе отрицающий возможности постичь квантовую физику на уровне здравого смысла и внятных механических моделей).

В своей же совокупности все такого рода подмены просто не оставили в официальной науке места ни для реализации Программы Клиффорда, ни для мистических идей Джордано о божественной душе материи, тем более.

#

Для обзорного взгляда на историю научных достижений XIX века с нестандартной точки зрения – с позиций «возвращения в науку души материи» – имеет смысл ещё раз напомнить основные идеи клиффордовой программы.

  • Геометризация физики, то есть переформулировка всех природных феноменов в терминах единого математического языка, описывающего эффекты геометрии плоских и искривлённых пространств.
  • Волновая природа материи, включая гидродинамику всех её взаимодействий – как динамику локальных искривлений в геометрии пространства.
  • Эфир как особая – невесомая – материя, образующая пространство, и, главное, как мост между мирами сознания и миром материи обыкновенной, то есть весомой.
  • «Материя разума» или частицы материи мысли. Первичная физическая основа для сознания вселенной и всех её элементов. Иначе говоря, разумная основа всего, что есть в мире.

К этому набору из четырёх базовых пунктов, в явном виде обнаруживаемых в текстах Клиффорда, полезно также добавить пункт пятый – под условным названием «электромагнетизм Максвелла». Особая ценность данного пункта в том, что именно он объединяет все четыре компонента клиффордовой программы в одно неразрывное физическое целое. Или в «топологически защищённый узел», как принято выражаться ныне.

Уильям Клиффорд и Джеймс Клерк Максвелл, правда, знать об этом ещё не могли – просто в силу естественных историко-хронологических причин. Но вот то, что ничего содержательного про особую роль «топологического узла» в уравнениях Максвелла не ведает и поныне вся гигантская современная наука, это вряд ли правильно. Ситуация выглядит очевидно нездоровой и давно нуждающейся в лечении.

Как там это исцеление будет в большой науке происходить, сие, как говорится, пока неведомо. Но ничто не мешает обрисовать здесь вкратце общую топологию «максвеллова узла открытий XIX века». Причём не только картину того, как отдельные компоненты зацеплены друг за друга, но ещё и того, как одни важные и сильные элементы-открытия оказались затем удалены или спрятаны, а вместо них были искусственно встроены идеи совершенно другие.

Встроены идеи либо слабые, либо просто ошибочные. В результате чего вместо цельной картины, ведущей к постижению природы, в основах науки XX века оказались не стыкующиеся друг с другом фрагменты, порождающие иллюзию понимания. Что, собственно, и стало главной причиной нынешнего гранд-кризиса в фундаментальной физике…

# #

Итак, вкратце разберём по пунктам программу Клиффорда – теперь обращая особое внимание на исторический контекст и выпадение из него важных идей, а также на взаимосвязи каждого из пунктов с уравнениями (или личностью) Максвелла.

(1) Геометризация физики. В основе аппарата клиффордовых алгебр, то есть математического инструментария, специально разработанного учёным для воплощения своих идей о геометризации физики, лежат так называемые кватернионы Гамильтона. Или, иначе говоря, особые четвёрки чисел, открытые Уильямом Роуэном Гамильтоном незадолго до рождения Клиффорда в 1843 году и предоставившие естественное физико-математическое расширение для очень плодотворной идеи комплексных чисел.

Кватернионы практически сразу были встречены математическим сообществом с энтузиазмом, для них быстро нашлось множество эффектных применений как в чистой математике, так и в физике. Одним из главных энтузиастов в распространении кватернионного исчисления стал Питер Гатри Тэйт, ученик Гамильтона и приятель-однокашник Джеймса Клерка Максвелла. Под несомненным влиянием Тэйта и его обстоятельной монографии, Максвелл перевёл свои уравнения электромагнетизма на язык кватернионов, благодаря чему они получили более компактную запись.

На языке клиффордовых алгебр, как уже отмечалось, система уравнений Максвелла обретает особо компактную и естественную запись в виде всего одной короткой формулы. Столь примечательный математический факт, однако, был установлен лишь во второй половине XX века, а выстраивать на этой основе учебные курсы по физике нигде не принято даже по сию пору.

Ещё один примечательный вариант гиперкомплексных чисел, так называемые октонионы или восьмёрки чисел с особыми алгебраическими свойствами, были открыты другим знаменитым британским математиком Артуром Кэли в 1845. То есть в год рождения Уильяма Клиффорда.

В своих физико-геометрических изысканиях Клиффорд применял особое подмножество гиперкомплексных восьмёрок, носящих название бикватернионы. Однако для более общего аппарата чисел-октонионов никакого реального применения в физике так и не нашлось вплоть до сегодняшнего дня (если не считать осторожные попытки применения октонионов в абстрактных областях математической физики типа теории струн, где полный отрыв науки от реальности обнаруживается при опоре на любой математический инструментарий).

Короче говоря, пока что никто так и не понял, с какой стороны в природу и реальную физику можно было бы содержательно встроить геометрию на базе октонионов.

(2) Волновая природа материи. В 1844 году, аккурат между появлением кватернионов и рождением Клиффорда, британский инженер-судостроитель Джон Скотт Рассел представил научному миру экспериментально открытый им феномен уединенных волн, иначе именуемых солитонами. Называть их так, правда, стали много позже, сто с лишним лет спустя, когда вдруг обнаружилось, что подобного рода волновые феномены не только очень широко распространены в природе, обладая чрезвычайно богатой и полезной для физиков математикой, но ещё и дают наглядную – гидродинамическую – аналогию для квазичастиц квантовой физики.

Так что если бы создатели квантовой механики в 1920-е годы хоть немного знали о самом факте существования в природе уединённых волн, то и не появилось бы, скорее всего, в науке никакого «загадочного парадокса» с дуализмом волна-частица. Но увы, в XIX веке, при жизни Рассела, его открытие и многолетние увлечённые исследования физики «волн переноса», как он это именовал, не вызвали у коллег-современников абсолютно никакого интереса. А авторитетные научные светила раскритиковали феномен как очевидную ошибку и явление, несовместимое с общепринятой теорией гидродинамики.

Интересно, что те же самые «авторитетные светила» британской науки, кто зарубил революционное открытие Рассела (как теоретически невозможное), примерно тогда же зарубили ещё и вычислительную машину Чарльза Бэббиджа (как дорогое и сложное, но абсолютно бесполезное устройство). Из-за чего эпоха компьютеров началась в нашей истории примерно на столетие позже.

Общепринятая теория гидродинамики, впрочем, ничуть не помешала исследователям обнаружить сильные аналогии между физикой жидкостей и феноменами электромагнетизма. Опираясь на эти аналогии в математике дифференциальных уравнений, Карл Антон Бьёркнес в 1875 году сделал важнейшее открытие, получившее название гидродинамическая теория электромагнетизма.

Теория Бьёркнеса не только продемонстрировала вывод уравнений Максвелла на основе феноменов и уравнений физики жидкостей, но и подтвердила настольными опытами наглядные и убедительные соответствия между гидродинамикой и эффектами электричества/магнетизма. Главнейшей же особенностью этой теории было то, что у Бьёркнеса роли противоположных зарядов играли одни и те же объекты – «пульсирующие сферы», находящиеся в противоположных фазах своих колебаний.

Как с позиций физики, так и математики, у этой сильной теории имелось по сути всё, чтобы впоследствии, в XX веке, получить достойное и органичное развитие в рамках физики новой, квантовой. Принципиальной помехой было лишь одно. Теория Бьёркнеса явно и неразрывно была связана с концепцией эфира – как жидкой материальной среды пространства, в которой и происходит, собственно, вся гидродинамика электромагнетизма. Когда же в начале двадцатого века от идеи эфира решили отказаться, то не осталось места и для «пульсирующих сфер».

Сильную и красивую модель забыли настолько прочно, что к концу XX столетия, когда в экспериментах с гранулированными материалами был обнаружен феномен осциллонов или «осциллирующих волн-солитонов», о древней теории Карла Бьёркнеса не вспомнил в науке вообще никто. Хотя осциллоны – это прямая и явная гидродинамическая аналогия для гипотетических «пульсирующих сфер» теоретика…

(3) Эфир как тонкая форма материи и мост к миру сознания. Примечательные аналогии между гидродинамикой и электромагнетизмом одним из первых стал отмечать в 1860-е годы Герман Гельмгольц, автор несложных и одновременно мощных уравнений для описания физики вихревого движения в жидкостях. В Британии главной силой по продвижению идей Гельмгольца стал уже известный нам Питер Гатри Тэйт. Который не только переформулировал важнейшие результаты гидродинамики на язык кватернионов, но также устроил с вихревыми кольцами дыма целый ряд остроумных экспериментов, подтвердивших верность далеко не очевидных математических выводов Гельмгольца.

Сильная математика, а ещё в большей степени эффектные эксперименты Тэйта с вихревыми кольцами, в совокупности вдохновили его друга Уильяма Томсона (будущего лорда Кельвина) на разработку знаменитой ныне «вихревой теории атомов». Знаменита она тем, что вихревая теория Кельвина стала первой, по сути, в истории физики попыткой создать «теорию всего».

Иначе говоря, редкостная стабильность вихревых колец и богатая физика их взаимодействий порождали надежду, что на этой элементарной и внятной основе удастся «объяснить всё» – от микроскопического устройства материи и пространства до природы крупномасштабных явлений космоса. Важнейшими фрагментами этой большой теории стали, в частности, топологическая теория узлов Тэйта и теория гранулированного эфира как вихревой губки.

Никакой Теории Всего, однако, ни тогда, ни впоследствии создать в науке не удалось. Но поскольку в физике и математике XX века получила со временем большое и впечатляющее развитие теория узлов, сегодня Питера Тэйта вполне заслуженно вспоминают как одного из отцов-основателей топологии. Теории же вихревых атомов и зернистого вихревого эфира, как принято считать, оказались для науки бесперспективными тупиками. Но тут, однако, смотря как оценивать…

Например, в нынешней математической физике XXI века уже убедительно и с разных позиций продемонстрирована «дуальность частица-вихрь» . Иными словами, показано, что древняя концепция Кельвина о «частицах как вихрях» даёт современной науке очень сильную платформу для универсального описания бозонов и фермионов в рамках единого – «вихревого» – формализма.

Другой наглядный пример – современная теория LQG или Петлевая Квантовая Гравитация. Основой для этой широко известной и давно разрабатываемой теории служит концепция пространства как «спиновой сети» . Если же чуть внимательнее присмотреться к геометрической сути этой концепции, а также знать историю науки, то совсем несложно увидеть, что спиновая сеть – это просто иная формулировка для той же самой концепции зернистого вихревого эфира, что идёт из глубины веков, от Бернулли и Кельвина.

И точно так же, как современных теоретиков уравнения их математических выводов упорно тыкают носом в давние кельвиновские идеи и результаты, так и самого Кельвина, в своё время, математика эфира как вихревой губки отчётливо привела к уравнениям электромагнетизма Максвелла. Вопреки воле «создателя», совершенно того для своей теории не желавшего…

За всеми этими интересными поворотами эфирно-физических изысканий, однако, совершенно не видно, каким образом тут фигурируют идеи Клиффорда про эфир как мост между материей и сознанием. Дабы этот момент проявился более отчётливо, следует отметить, что в год 1875 – когда Бьёркнес с опорой на гидродинамику эфира открыл новое описание для максвеллова электромагнетизма – в научном мире произошло ещё одно примечательное событие. Прямо связанное с именем и делами уже хорошо знакомого нам учёного.

(4) Материя мысли и Невидимый Мир. В 1875 году у Питера Гатри Тэйта и его приятеля, физика Бальфура Стюарта (наиболее известного в качестве одного из отцов спектрального анализа), вышла совместная книга, по тематике довольно неожиданная для подобного коллектива учёных и носившая название «Невидимая вселенная» (B. Stewart, P. G. Tait. The Unseen Universe. — London: Macmillan and co., 1875).

Поскольку авторы книги были не только видными учёными, но и людьми религиозными, то главной целью своей книги они поставили опровержение философии радикального материализма. Причём особо интересно, что это их «опровержение» мыслилось выстроить на основах скорее науки, нежели метафизики. Суть же послания сводилась к тому, что наука и религия не только не обязаны быть в вечном конфликте, но и совсем напротив, вполне способны существовать в гармонии друг с другом.

Если чуть подробнее, то Стюарт и Тэйт хотели показать, что их христианская вера в бессмертие души может, в принципе, обрести и прочный научный базис. Ради этой цели авторы ввели идею о своего рода параллельной вселенной, или о том невидимом для нас духовном мире, что посредством энергии или эфира соединён с материальной вселенной, в которой живём мы.

Аргументы физиков вокруг гипотезы о параллельной вселенной вполне отчётливо предполагали совместимость незримого мира с вихревой теорией частиц. Но в книге Стюарта и Тэйта физико-математическая сторона этой гипотезы, впрочем, не получила никакого развития. Потому что цель у авторов была существенно иная – сформулировать научное обоснование для идей религии о посмертной жизни души. Причём обосновать это старались непременно так, чтобы не было никаких противоречий с догмами христианства.

Реакция научного сообщества на эту публикацию была весьма неоднозначной, мягко говоря. Если, скажем, примерно такой же верующий христианин Максвелл просто отнёсся к книге без особого восторга и одобрения, считая, что учёным следует строго отделять проверяемые научные изыскания от веры и домыслов, никакой проверке не поддающихся, то вскоре в печати появились и куда более негативные оценки. А один из наиболее резких критических отзывов дал наш главный герой, Уильям Кингдон Клиффорд. К тому времени он уже открыто объявил себя убеждённым материалистом, отчего практически вся клиффордова критика была сосредоточена на попытке учёных авторов протащить в науку религиозные идеи, не поддающиеся никакой проверке.

Резкая и развёрнутая критика Клиффорда, с одной стороны, сильно задела и не могла не расстроить Тэйта, искренне пытавшегося наводить мосты между наукой и религией. Но глядя со стороны другой, книга Стюарта и Тэйта, вне всяких сомнений, ощутимо подтолкнула Клиффорда к разработке своей собственной – материалистической – теории о природе сознания, в основу которой была положена его собственная концепция Mind Stuff или «материи разума».

Рецензия Клиффорда на книгу «Невидимая вселенная» была опубликована в 1877, после чего, в 1878, появилась его работа о Mind Stuff, а затем настал 1879 – год, когда один за другим умерли сначала Клиффорд, а затем и Максвелл…

# # #

По завершении этого краткого обзора становятся более ясны те идеи и их взаимосвязи, на основе которых клиффордова программа могла бы обеспечить естественный процесс «возвращения в науку души материи». Могла бы – но не обеспечила. Просто по причине безвременной кончины или, иными словами, выпиливания ключевых фигур затеи из этого слоя реальности.

По этой же причине остаётся сильно недопрояснённым и такой вопрос. Каким образом весь этот перечень идей и открытий XIX века ведёт нас к постижению той загадочной геометрии, что известна нам как сфера Тота, Джордано и Паскаля?

Для того, чтобы это увидеть и понять, требуется весьма особенная точка обзора. Такая позиция, глядя с которой все эти идеи – кватернионы-октонионы, солитоны-осциллоны, топологические узлы и вихри, параллельные невидимые миры и монады Джордано, плюс множество новых открытий науки последнего столетия – всё это богатство гармонично, естественно и красиво укладывается в одну весьма примечательную конструкцию. Такую геометрическую конструкцию, которая неожиданно для всех была наукой открыта к концу XX века – в давным-давно известных всем уравнениях Максвелла.

Открытие это сделал и вот уже свыше тридцати лет упорно развивает испанский теоретик Антонио Раньяда. Но самое важное – и при этом до сих пор наукой не понятое абсолютно никак – что в центре этого открытия находится она, та самая «умопостижимая Сфера Тота». Удивительная физико-математическая конструкция, в единое и неразрывное целое сводящее всё: дискретное и непрерывное, пространство и время, материю и сознание, тело и разум.

5.3_ Узел Раньяды, Хайнц Хопф и истории упущенных возможностей

Дабы удивительное открытие Антонио Раньяды – принципиально новое решение для уравнений Максвелла – воспринималось более адекватно и в надлежащем научно-историческом ландшафте, прежде имеет смысл вспомнить одну лекцию/статью из начала 1970-х годов. Работу под названием «Упущенные возможности» от знаменитейшего учёного Фримена Дайсона, равно авторитетного как среди физиков, так и математиков.

Одно из центральных мест в этой лекции занимает история вокруг странного и поразительного отсутствия интереса среди учёных коллег-современников – в особенности среди математиков – к уравнениям электромагнетизма, открытым Максвеллом в 1860-е годы. Эти новые уравнения, в самом общем и едином виде позволившие описывать свойства электричества, магнетизма и света, с точки зрения современной науки стали великим событием в физике XIX века, по своему значению вполне сравнимым с открытиями Ньютона, сделанными лет на двести ранее, в семнадцатом столетии.

Общеизвестно, что глубокое исследование ньютоновой физики в среде сообщества математиков на протяжении 18-го и 19-го веков породило не только большой ряд важных прикладных математических направлений (типа аналитической механики), но и целые новые разделы чистой математики (вроде вариационного исчисления, дифференциальной геометрии, групп Ли, топологии и так далее).

Но при этом, как подчеркнул Фримен Дайсон в своей лекции, математики XIX века обнаружили прискорбную неспособность понять, что столь же великие возможности открыл перед ними Джеймс Клерк Максвелл в 1865 году.

Если бы они прореагировали на уравнения Максвелла примерно так же, как их предшественники на уравнения Ньютона, то без особых проблем могли бы открыть, среди прочего, специальную теорию относительности Эйнштейна, теорию топологических групп и их линейных представлений, основную часть теории гиперболических уравнений и функционального анализа…

Короче говоря, очень значительная часть физики и математики XX века вполне могла появиться и в девятнадцатом столетии – если бы математики как следует взялись за исследование тех математических концепций, которые естественным образом вытекали из новаторских для своей эпохи уравнений Максвелла. Но ничего из этого, как известно, в реальности не произошло. Более того, не только математики, но даже и физики, как ни удивительно, масштабы важности максвеллова открытия начали понимать и ценить далеко не сразу, лишь ближе к концу XIX века.

Самое же любопытное – и чего не мог заранее знать Фримен Дайсон – это то, что спустя ещё сто лет, уже к финалу века XX, теоретической физике удастся сделать новое и неожиданное математическое открытие в природе уравнений Максвелла, изученных наукой, казалось бы, теперь уже со всех сторон. Антонио Раньяда, однако, открыл для этих уравнений существенно иные решения, характеризуемые тем свойством, что все линии электрического и магнитного полей являются здесь замкнутыми в узел петлями. Причём в совокупном узле, образованном всеми этими петлями, любые два кольца электрических или магнитных линий являются зацепленными друг за друга.

В основе решений, обнаруженных Раньядой, лежит топологическая структура, известная под названием фибрация Хопфа (по-английски Hopf fibration, что на русский язык обычно и очень неудачно принято переводить как «расслоение Хопфа» – ибо волокна-фибры это отнюдь не слои). Структура эта была открыта в чистой математике давным-давно, на рубеже 1920-30-х годов, и с тех пор изучена математиками вдоль и поперек – примерно как уравнения Максвелла в физике….

Сообществу учёных физиков, однако, о факте существования этой конструкции стало известно значительно позже, спустя четыре с лишним десятилетия. То есть примерно в середине 1970-х годов, когда неожиданно обнаружились прямые математические взаимосвязи между фибрацией Хопфа и уравнениями квантовых калибровочных полей. Начиная с этого момента до физиков очень постепенно, но всё более отчётливо стало доходить, что структура фибрации Хопфа обнаруживается в действительности на всех масштабах природы.

К началу XXI века характерные топологические признаки этой структуры были отчётливо установлены в таких, в частности, областях физики, как классическая электродинамика (уравнения Максвелла) и общая теория относительности (пространства Taub-NUT), калибровочные взаимодействия Янга-Миллза и релятивистское уравнение Дирака в квантовой физике, теория квантовой гравитации (AdS/CFT в теории струн, твисторы Пенроуза) и теория квантовых вычислений (сфера Блоха для устройства кубита).

Спустя ещё два десятилетия, к 2020 году, фибрацию Хопфа чаще всего стало принято упоминать в связи с теорией солитонов, где для стабильных волновых феноменов со свойствами квазичастицы и специфической топологией трёхмерного узла, появился и отдельный класс объектов под общим названием «хопфионы». То есть топологические солитоны, имеющие структуру фибрации Хопфа.

Объективно оценивая весь поток такого рода открытий в физике последних десятилетий, есть все основания говорить – вслед за известным математическим физиком Роджером Пенроузом – что фибрацию Хопфа уже вполне можно рассматривать как «элемент архитектуры нашего мира». Универсальный элемент мироздания, совершенно отчётливо обнаруживаемый на всех масштабах вселенной – от космологического устройства пространства в целом до структуры элементарных частиц.

Но одновременно обнаруживается удивительнейшая вещь. Хотя столь примечательный объект известен физикам уже почти полстолетия, в фундаментальных основах физической науки он не присутствует абсолютно никак. Всё время происходит так, что в большой науке фибрация Хопфа стабильно остаётся вытесненной куда-нибудь подальше на периферию. И потому известной, как правило, лишь для узких специалистов.

Иначе говоря, в мировом научном сообществе до сих пор не наблюдается НИ ОДНОГО учебника или хотя бы обстоятельной монографии, где универсальная и объединяющая – фундаментальная – роль фибрации Хопфа в физике была бы представлена как достоверный и надёжно установленный, многократно и разнообразно подтверждаемый научный факт.

Перефразируя слова Фримена Дайсона, физиками не только XX, но и XXI века упорно демонстрируется прискорбная неспособность понять важность открытия, сделанного в чистой математике давным-давно. Уже почти столетие тому назад…

#

Понятно, наверное, что здесь обнаружена чрезвычайно странная и воистину прискорбная ситуация в большой науке. Исправить которую, однако, не так уж и сложно. Ибо чертежей, расчётов и материалов для перестройки фундамента имеется у народа более чем достаточно. Было бы лишь желание у архитекторов и строителей.

В качестве же стартовой позиции для столь большого и важного дела здесь совершенно естественно выбрать год 1931. Почему именно этот год? И почему «естественно»?

Во-первых, потому что в 1931 году вся мировая научная общественность торжественно и с помпой отмечала столетие со дня рождения Джеймса Клерка Максвелла. К тому времени уже признанного всеми как самый значительный учёный физик XIX столетия.

А во-вторых, потому что именно тогда, в 1931 году, в мире физико-математических исследований сформировался и «почти уже завязался» чрезвычайно важный узел, где были собраны практически все необходимые компоненты – люди, идеи, открытия – для великой научной революции не только двадцатого века, но и вообще всей истории человечества…

Именно в тот год Хайнц Хопф опубликовал свою работу об открытой им в топологии конструкции, получившей в истории название нетривиальная фибрация Хопфа. Суть этой конструкции, что необходимо подчеркнуть, была основана на геометрических разработках Уильяма Кингдона Клиффорда, известных ныне как «параллели Клиффорда» и «тор Клиффорда».

В тот же самый 1931 год Поль Дирак, один из молодых «отцов» квантовой механики, опубликовал свою знаменитую работу с красивым и естественным математическим объяснением для феномена квантования электрических зарядов. В основу этого объяснения была положена идея о магнитном монополе, гипотетической и очень нужной с тех пор для теоретиков частицы, которую экспериментаторы безуспешно ищут в природе вплоть до сегодняшних дней. Пока же идут долгие экспериментальные поиски, теоретики тем временем обнаружили (правда, почти полвека спустя), что в терминах математического описания монополь Дирака и фибрация Хопфа – это одно и то же…

Для полноты картины следует добавить, что за три года до магнитного монополя Поль Дирак открыл своё поразительное релятивистское квантовое уравнение – математическое чудо физиков, не выводимое вообще ниоткуда, но опирающееся на аппарат геометрических алгебр Клиффорда (нужные фрагменты этого аппарата Дираку пришлось переоткрыть самому, поскольку математику Клиффорда в то время уже полностью забыли и в учебные курсы не включали).

В последующие годы Дирак сделает ещё несколько существенных вкладов в фундаментальную теорию (гипотетический мир, параллельный нашему; возвращение в физику эфира без противоречий с теорией относительности; возвращение понятий об абсолютном отсчёте времени и абсолютной одновременности событий в согласии с концепцией здравого смысла). Все эти вещи принципиально важны для нашей «истории лечения», однако среди коллег-современников Дирака они, увы, не получили ни признания, ни заметного развития.

Возвращаясь к Хайнцу Хопфу и в 1931 год, следует отметить, что именно тогда учёный переехал из Германии в г. Цюрих, Швейцария, чтобы возглавить там кафедру математики в ETH, местной Высшей технической школе. Кафедру физики в ETH в ту пору уже возглавлял Вольфганг Паули, ещё один молодой «отец» квантовой механики. А кроме того, и ещё один переизобретатель клиффордовых алгебр в XX веке, поскольку в исследованиях Паули они понадобились для математического обоснования феномена спина частиц. Двое выдающихся учёных, Хопф и Паули, вскоре сошлись по интересам и поддерживали дружеские отношения всю остальную жизнь.

Особо же важно, что в тот же 1931 год у Вольфганга Паули завязались в Цюрихе поначалу знакомство, а затем и дружба-сотрудничество с Карлом Густавом Юнгом, местной психотерапевтической звездой и отцом-основателем аналитической психологии. Тесные контакты между Паули и Юнгом пробудили у физика серьёзнейший интерес к области изучения психики с позиций физико-математических наук. И в конечном итоге привели к величайшему – но до сих пор окутанному завесами тайны – теоретическому открытию Паули, прокладывающему, по его словам, «мост между физикой и сознанием» (но это уже совсем другая большая история ).

Опять возвращаясь к Хайнцу Хопфу и его контактам-связям того периода, необходимо упомянуть, что именно тогда, на рубеже 1920-30-х годов, очень плодотворно развивались близкая дружба и сотрудничество между Хопфом и советским математиком-топологом Павлом С. Александровым. Итогом этого тесного сотрудничества должен был стать их совместный – монументальный – трёхтомный труд «Топология», однако из-за стремительно ухудшавшейся в мире политической обстановки реально удалось сделать лишь первый том, вышедший в 1935 году.

Примерно тогда же Павел Александров опубликовал работу, описавшую одно из его новых топологических открытий – «связное двоеточие» как простейший пример так называемых нехаусдорфовых пространств. Об огромной важности этого математического открытия для физики – особенно в контексте дискретного/непрерывного и фибрации Хопфа – будет рассказано отдельно и с нужными подробностями чуть далее. Здесь же достаточно отметить лишь тот факт, что в современной физической картине мира, которую рисует нам официальная наука, связное двоеточие Александрова не фигурирует вообще никак.

И наконец, чтобы картина важности «узла 1931 года» для науки была как можно более полной, необходимо упомянуть и эпизод со знаменитой теоремой Гёделя о неполноте. Именно в тот год молодой и никому тогда неведомый австрийский математик-логик Курт Гёдель на одной из конференций впервые поведал миру о своём поразительном открытии. О том, если вкратце и подоступнее, что любая система из конечного сочетания верных аксиом-утверждений позволяет конструировать такие утверждения, для которых в рамках этой системы нельзя доказать, верными они являются или же ложными.

Переводя суть этого фундаментально важного для математики результата на более понятный бытовой язык, можно сказать так. Открытие Гёделя ясно и убедительно продемонстрировало не просто безнадёжность попыток, но и принципиальную невозможность выстроить такую картину мира, где на основе нескольких базовых идей, представляющихся всем верными, можно было бы постичь и объяснить всё, что в этом мире происходит. Причём совершенно не существенно, о каком мире идёт речь: мире простых арифметических аксиом или же о мире окружающей нас реальности. Чем сложнее мир, тем больше требуется для него аксиом, однако всегда будут обнаруживаться вещи, из этих аксиом невыводимые.

На каком-то из этапов развития физики учёные начали понимать эту ситуацию, когда для новых непредсказуемых эффектов коллективного поведения в системе, не выводимых из первых начал, дали название «эмерджентные феномены». Однако напрямую увязывать их с теоремой Гёделя о неполноте почему-то не принято. Более того, среди светил современной физики до сих пор популярны мечты о такой «теории всего», которая из первых начал сможет объяснить всё, в мире происходящее. Или, как минимум, объяснить всё на уровне феноменов материи, которые и поныне упорно отделяют от феноменов сознания…

Математика теоремы Гёделя, с одной стороны, вполне отчётливо указывает нам на безнадёжность подобного рода мечтаний. Глядя же со стороны другой, убедительно подтверждаемая физика эмерджентных феноменов предоставляет науке не просто надежду, но и вполне конкретный путь для постижения физико-математических основ сознания.

И совсем не случайность, конечно же, что этот новый путь совершенно естественным образом укладывается в древний маршрут, давно проложенный ересями Джордано, программой Клиффорда, уравнениями Максвелла и фибрацией Хопфа. (А плюс к тому, можно добавить, ещё и крайне странным космологическим решением Курта Гёделя для уравнений ОТО Эйнштейна. Но это ещё одна отдельная большая история из неисчерпаемых глубин фибрации Хопфа.)

# # #

Анонс следующего эпизода: (6) Квантовая механика и топология Хопфа в основах материи сознания

Основное – популярно-физико-математическое – содержание следующей части вполне передаёт уже название эпизода. Однако, для нагнетания мистического фона целесообразно особо выделить следующие – антинаучные – моменты истории.

Когда монады Джордано Бруно, обладающие одновременно материальностью и психикой, удаётся встроить в структуру фибрации Хопфа с помощью топологии, электромагнетизма Максвелла и квантовой физики, то получается нечто неожиданное. Не только физико-математическое объединение сознания и материи в полном согласии с Клиффордом, но ещё и интересная иллюстрация всеобщего Единства с позиций псевдонауки нумерологии.

С одной стороны, монада Джордано топологически играет роль связного двоеточия Александрова, а физически является парой из протона и электрона. Поэтому первичные элементы-монады физически характеризуются такими базовыми величинами: имеют единичный электрический заряд e и испускают планковский квант энергии h, который распространяется со скоростью света c. Эти три фундаментальные константы физики e, h и c, связаны друг с другом через простую формулу в очень странное и по сию пору загадочное для науки безразмерное число 137 – так называемую константу тонкой структуры.

Величина этого числа безразмерная, то есть никак не зависит от принятых кем-то единиц измерения. Абсолютно неважно в чем измерять отдельные физические величины – в метрах или в локтях, в унциях или килограммах, – в итоговой формуле «тонкой структуры монады» все размерности взаимно сокращаются и остаётся голое число. Равное 137. А почему именно 137 – не знает на этой планете абсолютно никто…

Глядя на мир со стороны другой, фибрация Хопфа – как космическая «монада монад» в терминологии Джордано Бруно – имеет в своей структуре в точности ту же самую последовательность цифр, что составляет число 137. Причём для надёжности эта последовательность цифр повторена в структуре два раза. А можно сказать, что и все три раза – тут как посмотреть.

Структура фибрации Хопфа как монады монад математически может иметь несколько разных вариантов сложности, но всегда состоит из трёх пространственных компонентов. Каждый из этих компонентов в процессе эволюции системы увеличивает размерность своего пространства, но не произвольным образом, а математически строго определенным.

(1) Фибер-пространство или «пространство сознания» монады монад, в качестве вариантов размерности для своей усложняющейся структуры имеет такой ряд чисел: 0, 1, 3, 7.

(2) Базовое пространство, или иначе, «пространство весомой материи» характеризуется такими вариантами размерностей и такими математическими структурами, которые полностью соответствуют алгебраическим множествам действительных чисел, комплексных чисел, кватернионов и октонионов. В терминах размерностей это такой ряд чисел: 1, 2, 4, 8. Если учесть, что в нашем варианте «пространства материи» 4 измерения пространства-времени известным образом распадаются на 3 измерения пространства плюс 1 особенное измерение времени, то такое сочетание размерностей естественно записывать как (3+1). Аналогично, четыре возможных варианта размерностей для базового пространства монады монад выглядят так: (0+1), (1+1), (3+1), (7+1). Иначе говоря, для числа измерений «чистого пространства без времени» опять получаем последовательность [0, 1, 3, 7].

(3) Тотальное пространство фибрации геометрически объединяет в одно целое фибер-пространство сознания и базовое пространство материи. А потому имеет в качестве своих возможных размерностей значения суммы соответствующих размерностей компонентов: (0+1), (1+2), (3+4), (7+8). Иначе говоря, и здесь получаем уже знакомую последовательность чисел [1, 3, 7, 15].

В обобщённой арифметической записи процесс этой геометрической эволюции размерностей можно представить в виде таблицы. Где четыре строки – это четыре математически возможных варианта фибрации Хопфа (других быть не может в силу строгих алгебраических правил). А три колонки – это допустимые варианты размерностей для каждого из пространств: (1) размерность фибер-пространства, (2) базового пространства, (3) тотального пространства.

0 — 1 — 1
1 — 2 — 3
3 — 4 — 7
7 — 8 — 15

Глядя на эту структуру, можно увидеть, как эволюция монады монад – от пространства минимальной до пространства максимально возможной размерности – проходит строго по цифрам-ступеням константы тонкой структуры: 1-3-7. Так что размерность тотального пространства материи-сознания одного этапа становится размерностью фибер-пространства сознания для этапа следующего…

Интересно, что в уже упоминавшейся прежде комичной истории о том, как Ричард Фейнман в середине XX века выводил новую, свою собственную электродинамику, а в итоге пришел к уравнениям Максвелла, тоже фигурируют — хотя и неявно — те же самые числа. Позднее было показано, что вывод фейнмановских уравнений работает лишь в пространствах размерности 1, 3 и 7…

Особый же интерес представляет то, каким образом в статичной, казалось бы, конструкции фибрации Хопфа выявляется эмерджентное-динамическое появление непрерывности из дискретных поначалу элементов. Как появляются феномен времени, 10 измерений теории струн и 11 измерений суперсимметрии. Как тут устроена геометрия топологических квантовых вычислений, наконец.

Для постижения взаимосвязей между фибрацией Хопфа и квантовой информатикой, в частности, полезно рассмотреть такой вариант записи для последовательности [ 1, 3, 7, 15 ] – в виде колонки двоичных чисел, выражающих эволюцию размерностей «тотального пространства».

1
1  1
1  1  1
1  1  1  1

При такой записи данный набор цифр отчётливо отсылает к «тетрактису», знаменитому и загадочному символу древних мистиков, кодирующему в себе сокровенные тайны мироздания. Примеры того, как могут выглядеть переходы от смутных и трудно выразимых словами образов из медитаций гностиков к внятному языку фактов и открытий современной науки, естественно и целесообразно привлечь в следующих эпизодах научно-мистического расследования.

[ Продолжение следует ]

# # #

Дополнительное чтение:

О фибрации Хопфа в историческом и лингвистическом контекстах: Нетривиальное расСЛОНение [Sci-Myst #10]

Популярно о фибрации Хопфа в математическом контексте: Там За Облаками, глава (52)

# #

Основные источники:

Хорхе Л. Борхес, «Сфера Паскаля». В книге «Новые расследования», 1952.

Freeman J. Dуsоn. Missed Opportunities. Bull. Amer. Math. Soc., 78 (1972), 635–652. (Русский перевод: Ф. Дж. Дайсон, Упущенные возможности, «Успехи математических наук», т. 35, вып.1 (211), январь – февраль 1980)

Helge Kragh. “Higher Speculations. Grand Theories And Failed Revolutions In Physics And Cosmology”, Oxford University Press, 2011

H.K. Urbantke. “The Hopf fibration — seven times in physics”. Journal of Geometry and Physics 46 (2003) 125–150

A. F. Ranada and A. Tiemblo. “A Topological Structure in the Set of Classical Free Radiation Electromagnetic Fields”. arXiv:1407.8145 , 29 Jul 2014

# # #