ПолИматематика Арнольда, полОматематика Вершика и… некий Тетрактис

Декабрь 2020, idb.kniganews )

Физики, как многие наслышаны, любят шутить. Любят, бывает, пошутить и некоторые математики. Хотя не очень ясно, до какой степени это у них связано с интересом к проблемам физики. Но как бы там ни было, специфический юмор учёных всегда позволяет по-новому взглянуть на известные – а также умалчиваемые – странности нашей жизни…

Ровно двадцать лет тому назад – и в очевидной связи со вступлением человечества в новый миллениум – под эгидой IMU или Международного Математического Союза была выпущена интереснейшая книга. Точнее говоря, большой сборник обзорных статей, получивший название «Математика: рубежи и перспективы» и собравший под своей обложкой блестящую плеяду из трёх десятков выдающихся светил как математической науки, так и теоретической физики (V. Arnold, M. Atiyah, P. Lax, and B. Mazur, editors — Mathematics: Frontiers and Perspectives. American Mathematical Society, 2000).

Инициатором и мотором всей этой замечательной затеи был Владимир Игоревич Арнольд – главный герой многих текстов проекта kniganews, посвящённых мистическим началам в «физике от аватаров». Но здесь, впрочем, речь пойдёт не столько об аватарах, сколько о специфическом юморе учёных. Ну и совсем немножко – ближе к финалу – о том, как это связано с мистическими аспектами науки.

Собственная статья Арнольда для сборника о рубежах и перспективах получила от автора несколько провокационное название «Полиматематика: единая наука или набор ремёсел?». А начиналась так и вообще со следующего возмутительного заявления:

Вся математика делится на три части: криптография (оплачиваемая ЦРУ, КГБ и им подобными), гидродинамика (поддерживаемая производителями атомных подводных лодок) и небесная механика (финансируемая военными и другими организациями, вроде НАСА, имеющими дело с ракетами).

Криптография привела к созданию теории чисел, алгебраической геометрии над конечными полями, алгебры, комбинаторики и компьютеров. (Создатель современной алгебры, Франсуа Виет был криптографом французского короля Генриха IV.)

Гидродинамика породила комплексный анализ, уравнения в частных производных, теорию групп и алгебр Ли, теорию когомологий и методы вычислений.

Небесная механика дала начало теории динамических систем, линейной алгебре, топологии, вариационному исчислению и симплектической геометрии.

Существование таинственных взаимосвязей между всеми этими различными областями – самая поразительная и восхитительная особенность математики (не имеющая никакого рационального объяснения)…

#

Столь вызывающе сформулированный зачин для обзорной статьи от очень авторитетного математика – это, конечно же, проявление весьма специфического, порою мрачного и ядовитого юмора Арнольда. Ибо вся последующая часть его статьи рассказывает, по сути дела, о прямо противоположном.

О поисках рациональных объяснений для неразрывного единства гигантской вселенной Математики, таинственно устроенной так, что любая из математических областей отражает все остальные. А также о том, что бюрократы науки, направляемые менеджерами от военных и секретных спецслужб, всячески препятствуют постижению этого Единства…

Как бы там ни было, арнольдова статья «Полиматематика» определённо привлекла живой интерес научного сообщества, а её неординарное начало ещё и подтолкнуло к созданию пародий. Одну из наиболее знаменитых, наверное, написал известный питерский математик Анатолий М. Вершик, не только близкий коллега, но и давний приятель Арнольда, с которым они были дружны тучу лет – ещё с 1960-х годов.

Шутливый опус от Вершика под названием «Поломатематика» выглядит так:

[цитируется по Приложению к тексту «Несколько мыслей об Арнольде», Семь искусств, №12, 2015]

Нижеследующую шутливую пародию на его энергичные тексты о математике, о её связи с физикой и экспериментальными науками я написал в 1999 году. Он даже процитировал эту пародию в своей статье в «Успехах физ. наук». Вообще, добавлю, что он был вполне критичен к самому себе, и что было у него в достатке – это чувство юмора.

ПОЛОМАТЕМАТИКА

«Математика делится на три части…» (В.И.Арнольд, Полиматематика.)

Математика делится на мужскую, женскую и детскую. Имеется ещё небольшое направление, не заслуживающее внимания, которое следует назвать гермафродитной математикой (бурбакисты и их последователи).

Большинство мужчин-математиков занимаются женской и детской математикой, а женщины-математики в основном развивают детскую математику, и только немногие учёные обоего пола способны сделать прогресс в мужской математике.

Имелись и другие попытки классификации математики. Например, недавно В.И.Арнольд разделил её на шифровально-алгебраическую (КГБ-ЦРУ), военно-контактную (ВМФ) и военно-симплектическую (ВВФ и ракетные войска). Такое подразделение не выдерживает критики, так как, во-первых всё финансирование всегда идёт из одних и тех же органов, а кроме того, непонятно куда отнести топологию внутренних дел и геометрию государственной безопасности.

Другая, давно провалившаяся классификация (Германия 30-х гг., у нас — И.М.Виноградов и др.), подразделяла математику на классический анализ и национальный анализ. Но переплетение национальных судеб с одной стороны, и убогая аргументация авторов, – с другой, – свели на нет эту небезынтересную идею.

Но вернёмся к нашей фундаментальной классификации по обобщённо-половому, а не (ма)тематическому признаку.

К мужской математике относятся все результаты, которые невозможно украсть без членовредительства. До последнего времени они в основном производились в России – классификация особенностей, КАМ-теория и ещё несколько других. Мужской математике не страшны угрозы со стороны западных математико-мафиозных структур, которых я не называю из опасений за собственную жизнь.

Женская математика состоит по большей части из красивых, но бесполезных результатов (инварианты узлов и кос, теория овалов, проблема Ферма, априорные оценки). Как правило, такие результаты рождаются одновременно во многих местах и различить близнецов –невозможно.

Детскую математику в ХХI веке будут развивать дети, но до тех пор пока математическое образование находится в руках у гермафродитов-бурбакистов, дети не смогут серьёзно заниматься наукой и детскую математику (перекладывание отрезков, различные квантования, случайные связи и т.п.) оккупировали взрослые математики 2-го и 3-го уровня.

Я хочу впервые отметить новый феномен перетекания мужской математики в женскую и обратно, который в зачатке существовал давно, а теперь после распада СССР и восточного блока, стал особенно интенсивным. Эти процессы можно сравнить с овеществлением и комплексификацией: в первом случае (овеществление) мужские результаты становятся женскими, но в других единицах, а во втором, более мучительном случае (комплексификация) – женские, за не имением мужских, – мужскими. В некоторых случаях, обычно это бывает с российскими математиками на Западе, эти процессы приводят, к порабощению мужской математики женской, когда мужские результаты приписываются женской математике, а их авторы получают жалование в несколько раз меньше, чем их западные коллеги.

Но совершенно не изучен еще один процесс, подобный кватернизации, (более полное название – квантоссенизация) и связанный с переходом к двуполой математике. Как объяснял мне Пуанкаре (это же, кстати, утверждал и Харди), вмешательство компьютеров в математику может привести к переходу от гомосексуальной математики к гетеросексуальной, т.е. попросту говоря, один и тот же математик, может одновременно (используя компьютер) заниматься и мужской, и женской математикой, и даже детской. Этот процесс уже начался (ср. модную теорию квантовых компьютеров).

Остаётся лишь надеяться, что, после того, как наступит новая сексуальная революция, сбудется предсказание Гильберта, которое он и сам не понял, как следует, пока я не объяснил ему, – о том, что математика едина, и разделение математики и самих математиков по половому признаку станет анахронизмом.

А.Вершик

[конец цитаты]

#

Пародия эта, как отмечено выше, в качестве приложения сопровождала куда более серьёзный текст – воспоминания и размышления Вершика о своём недавно ушедшем старом друге, великом математике и просто очень ярком, многогранно одарённом человеке.

Среди множества граней и талантов были отмечены, в частности, и такие:

[Арнольд] не без основания говорил, что он (как и его учитель [Колмогоров]) не «чистый математик», а экспериментатор или естествоиспытатель, и сравнивал свои списки особенностей с гербариями и коллекциями бабочек. В этих словах была не просто поза, но подчёркиваемое им и позже желание видеть математику ближе к ряду экспериментальных наук (с чем я не согласен. А.В.).

Так или иначе, результаты его научной и общественной деятельности, созданная им научная школа, калибр его личности ставят его в ряд самых крупных учёных нашего времени.

Именно об этих вот знаменитых списках особенных соответствий или «гербариях и коллекциях» Арнольда и пойдёт далее речь. Во-первых, потому что именно им, по крупному счёту, была посвящена статья «Полиматематика».

А во-вторых, потому что в «полиматематическом гербарии» Арнольда очевидно недостаёт очень важного раздела, ведущего к постижению Единства математики и физики. И к отысканию тех самых рациональных, но постоянно ускользающих объяснений для таинственных и всюду обнаруживаемых взаимосвязей между разными областями, которые делают математику воистину прекрасной и удивительной.

#

Центральное место в статье Арнольда занимает большая таблица соответствий, имеющая строго три колонки и нестрогое, но существенно большее количество строк, прирастающее по мере новых математических открытий. Конкретно в статье этих строк насчитывается 25, а начало таблицы математических соответствий выглядит так:

Чтобы поразительная суть этих соответствий стала в общих чертах понятна даже для людей, далёких от математики, достаточно вкратце прокомментировать первую, восьмую и тринадцатую строки в таблице.

Строка первая задаёт важнейшую базовую структуру для (почти) всех чисел матанализа и алгебры. R – это множество действительных чисел или всех чисел вещественной числовой оси. C – множество комплексных чисел, образованных из всех пар чисел действительных. H – множество кватернионов, образованное из всех четвёрок чисел действительных, или пар чисел комплексных.

Что же касается колонок таблицы, то в них собраны самые разнообразные факты о свойствах математических объектов, сконструированных с опорой на числа действительные, комплексные и кватернионы. Причём собрано это всё не беспорядочно, ясное дело, а в строки, отражающие очень чёткие соответствия между объектами троек. Строго аналогичные тем соответствиям, что имеются «в базовой» первой строке – то есть между R, С и H.

Более того, от одной строки соответствий можно переходить к другой даже чисто формально, зачастую с помощью хорошо (или не очень) известных математических преобразований. Самое же поразительное, что эти строгие математические соответствия отчётливо выявляются далеко не только в области чисел, но буквально во всех областях чистой и прикладной математики. Начиная от давно известных, как всем казалось, геометрических фигур типа платоновых тел-многогранников и вплоть до новейших открытий квантовой физики и теории относительности.

В частности, строка (13) отражает тот удивительный факт, что правильный многогранник октаэдр является «комплексификацией» тетраэдра, простейшего из платоновых тел. А многогранник икосаэдр, соответственно, является комплексной версией октаэдра или кватернизацией тетраэдра, формулируя иначе. Эти неожиданные факты, можно отметить, открыл и продемонстрировал сам Арнольд – к удивлению всего просвещённого математического сообщества.

Что же касается квантовой физики – от которой Арнольд по некоторым личным причинам всегда держался на заметном расстоянии – то эти строки таблицы помогали заполнять сведущие коллеги и ученики. В частности, строка (8) отражает тот удивительный факт, что квантовый эффект Холла, открытый в начале 1980-х, – это «комплексификация» феномена взаимного отталкивания собственных значений в описании квантовой системы, что было открыто Вигнером и фон Нейманом за полвека до этого, в начале 1930-х.

Подытоживая суть представленной картины соответствий в финале статьи, Арнольд пишет так:

В математике мы всегда сталкиваемся с загадочными аналогиями, а тройки нашей таблицы предоставляют лишь небольшую часть всех этих чудес. В качестве другого примера я мог бы упомянуть «странную двойственность» треугольников Лобачевского, которую я обнаружил в 1974 году, а ныне Виктор Батырев объяснил её как самое первое проявление очень общего для современной физики феномена «зеркальной симметрии».

Прокомментированный перечень из нескольких сотен подобных проблем, берущих начало в такого рода «экспериментальных фактах» математики, был подготовлен участниками моего Московского семинара и вскоре будет опубликован, надеюсь…

Соответствующая книга «Проблемы Арнольда» была действительно опубликована тогда же в 2000 году на русском, и в 2004 на английском. А ещё через год удалось выпустить на русском и сам примечательный сборник – под названием «Математика: границы и перспективы» (ФАЗИС, 2005).

Кроме того, русский перевод английского оригинала статьи «Полиматематика» опубликован в посмертном сборнике «Геометрия кватернионов», выпущенном к 80-летию Арнольда в 2017.

В цифровом виде русский текст статьи отыскать в Сети существенно сложнее, чем оригинал на английском, поэтому здесь важные абзацы финала будут приведены не в официальном-авторском, а в «местном» варианте перевода:

Попытки комплексификации и кватернизации математических теорий делают вполне ясным фундаментальное единство всех частей математики. Нарастающая же специализация и бюрократическое размежевание математики на мелкие подразделы становятся препятствием для её развития.

Организаторы Международного конгресса математиков в Берлине в 1998 году рассматривали свои бюрократические «секции» как научно независимые друг от друга направления. Результатом такого подхода стало то, что параллельные доклады, формально относящиеся к разным секциям, на самом деле были посвящены одному и тому же предмету. Как бы это ни именовалось – симплектической геометрией, математической физикой, дифференциальной топологией, уравнениями в частных производных, глобальным анализом, квантовой механикой или теорией алгебр Ли бесконечной размерности.

Сразу несколько из приглашённых докладчиков Берлинского конгресса говорили мне, что они охотно послушали бы доклады друг друга, однако не могли этого сделать, потому что выступали одновременно в разных аудиториях. Это отсутствие понимания взаимосвязей между разными областями математики идёт непосредственно от катастрофического расхождения путей математики и физики в середине 20 века. И от произошедшего в результате удаления геометрии из основ математического образования.

Самые же последние строки в статье Арнольда звучат совсем уж мрачно:

Можно также надеяться, что грядущие гражданские ядерные войны и прочие военные конфронтации приведут как к лучшему восприятию обществом науки в целом, так и к парадоксальному расцвету мировой математики (подобному тому расцвету, что произошёл в России после ужасной большевистской революции).

Понятно, конечно же, что это ещё одно из проявлений специфического чувства юмора у большого учёного. Однако закончить материал хотелось бы не шуткой чёрного юмора, а чем-нибудь более светлым и конструктивно-вдохновляющим.

#

Для всех, кто хотя бы в общих чертах представляет себе структуру математических знаний, невозможно не заметить, что в таблице «полиматематического гербария» Арнольда явно недостаёт ещё одной колонки. Ибо в действительности числовые пространства непрерывных множеств описываются с опорой не на три, а на четыре базовые структуры, тесно связанные друг с другом: действительные числа, комплексные числа, кватернионы и октонионы.

Или иначе, числа одиночные, двух-элементные, четырех-элементные и восьми-элементные. Только эти четыре структуры образуют так называемые «алгебры с делением и нормой», что принципиально важно для их универсального применения. Других таких алгебр нет, причём по мере увеличения количества компонентов в числе происходит и последовательное утрачивание алгебрами важных свойств: при переходе к комплексным числам теряется их упорядоченность, при переходе к кватернионам исчезает коммутативность, при переходе к октонионам ассоциативность операций.

В этих потерях алгебраических свойств для нас сейчас важна не столько их суть, сколько утрата по этой причине полезности алгебр в практических приложениях. В частности, для алгебры восьмёрок-октонионов не находилось полезных приложений на протяжении полутора столетий с момента их открытия, произошедшего практически одновременного с кватернионами.

Именно по этой причине в «Полиматематике» Владимира Арнольда вся структура «гербария» очень жёстко ориентирована только на три базовые алгебры, а слово октонионы не встречается в статье вообще. Ибо Арнольд всю свою жизнь в науке выстраивал на основе идей о том, что математика – это экспериментальная часть физики.

А раз никакого применения в физике у октонионов не просматривается, то какой смысл усложнять и без того эффектную троичную структуру таблицы?

Эти «обоснования отсутствия», понятное дело, выведены здесь постфактум, сугубо логическим путём, просто как естественное объяснение троичной, а не четверичной структуры арнольдовой коллекции.

С другой стороны, к концу 1990-х годов, то есть к моменту написания статьи «Полиматематика», у исследователей вне школы Арнольда уже накопилось достаточно много фактов, указывающих на весьма особенную роль октонионов. Важных даже не столько самих по себе, сколько именно для объединения очень разных областей математики и физики.

Среди наиболее известных обзорных публикаций на данный счёт, ныне переведённых также и на русский язык, можно упомянуть две статьи 2002 года. Одну, сугубо научную – очень содержательную и обширную – статью подготовил американский математик Джон Баэз: «Октонионы» , PDF. А статью вторую, ориентированную на широкую публику, английский математик и популяризатор науки Иэн Стюарт: «Недостающее звено» .

Примерно тогда же, в 2003, австрийский математик Хельмут Урбантке опубликовал большую обзорную работу «Фибрация Хопфа – семь раз в физике», где рассказывается о неожиданном выявлении этой чисто абстрактной, как считали прежде, математической структуры во множестве самых разных областей физики, прежде считавшихся мало или вообще никак друг с другом не связанных. По сути дела, эта объединяющая структура обнаружена в основах устройства природы на всех масштабах – от квантовых частиц до вселенной в целом (подробности см. в материале Нетривиальное расСЛОНение ).

И при этом фибрация Хопфа не только давно встроена в «гербарий» Арнольда самым непосредственным образом – достаточно взглянуть на строку (9) таблицы, – но и по самой природе своего устройства полностью соответствует четырём нормированным алгебрам с делением.

Ибо разновидностей фибрации Хопфа тоже может быть только четыре, потому что базовым пространством каждой из них являются, соответственно, действительные числа, комплексные числа, кватернионы и октонионы. Иначе говоря, строка (9) расширяется в таблице Арнольда с троичной до четверичной структуры столь же очевидно и естественно, как и строка (1)…

Из этого логично предполагать, что и во всех прочих строках арнольдова гербария должны обнаруживаться математические факты и объекты «четвёртой колонки октонионов» – ведущие нас к картине подлинного единства математики и физики.

Но и это далеко не всё.

Имеются документально подтверждаемые свидетельства такому интересному и загадочному факту. Когда один из отцов квантовой механики, Вольфганг Паули, сделал на рубеже 1957-58 гг. своё величайшее (и сразу же глубоко засекреченное) теоретическое открытие – ныне известное лишь восклицанием «Раздвоение и уменьшение симметрии, уж теперь-то мы напали на след!» – попутно были сказаны ещё и следующие никем толком не понятые слова.

В письме другу Гейзенбергу воодушевлённый Паули сообщил, что новая теория «выглядит самой четверичной из всех, которые он когда-либо видел, а пифагорейцы с их тетрактисом – источником и корнем вечной природы – были бы очень довольны такой теорией».

Содержательные подробности об этой истории закрытого открытия можно найти в текстах Мировая формула и Гостайна как метафора. А общая схема того, сколь интересно и наглядно четверичная структура тетрактиса связана с четверичной структурой фибрации Хопфа, выявлена в расследовании «Геометрия и материя Разума» .

Здесь же – для одновременно наглядного и несколько озадачивающего – графического завершения рассказа осталось привести картинку, иллюстрирующую взаимосвязи-соответствия между устройством тетрактиса древних, фибрацией Хопфа, четырех-компонентным волновым уравнением Дирака (связавшим квантовую физику с теорией относительности) и свежей концепцией теоретиков «это всё из кубита», объединяющей квантовую теорию с гравитацией…

Без дополнительных комментариев картинка эта выглядит не очень содержательно, ясное дело. Однако постепенно, с появлением новых «четвёртых позиций» в гербарии Арнольда, до науки начнёт доходить, что здесь и вправду «теперь-то уж мы напали на след»…

# # #

Дополнительное чтение

Тексты об особом месте Арнольда в математике и физике XX века:

Новая физика из старых книг
Арнольд и другие аватары
Асимметрия раздвоения
Асимметрии метаболизма в биофизике частиц
Природа самообмана в точных науках

Васцилляция Хайда, научные табу и просто совпадения
Нетривиальное расСЛОНение и Фундамент Хопфа

# #

Основные источники:

V. I. Arnold. Polymathematics: Is Mathematics a Single Science or a Set of Arts? Originally published in «Mathematics: Frontiers and Perspectives», American Mathematical Society, Providence, RI, 2000, pp. 403–416. [PDF]
Русская версия той же книги: «Математика: границы и перспективы», ФАЗИС, 2005

Анатолий Вершик, Несколько мыслей об Арнольде,  «Семь искусств» № 12 (69) декабрь 2015