Программа Клиффорда как рубеж и перспектива

( Август 2021, idb.kniganews )

Один добрый человек раздобыл и прислал книгу. Хорошую биографическую книгу, лет двадцать тому назад выпущенную в Англии. Никогда, может, и не попадавшую в списки бестселлеров, но очень полезную для понимания интересной ситуации в современной науке.

Название книги в переводе на русский звучит примерно так: «Вот два серебряных потока: История Уильяма и Люси Клиффордов, 1845-1929» (Such Silver Currents: The Story of William and Lucy Clifford, 1845-1929. By Monty Chisholm. Lutterworth Press, 2002).

Пара «таких серебряных потоков» – это, понятное дело, жизни двух замечательных людей, пересёкшиеся и слившиеся в жизнь одну всего лишь на четыре года, с 1875 по 1879. Когда Уильям и Люси Клиффорды поженились, завели детей и сделали свой гостеприимный дом одним из самых интересных в Лондоне центров духовного общения для учёных, писателей и прочих интеллектуалов.

В печальном 1879 году, как известно, гениальный математик Уильям Кингдон Клиффорд скончался в возрасте 33 лет. Оставив жену с двумя их маленькими дочками фактически без средств к существованию. Сильная и умная женщина Люси Клиффорд, однако, сумела не только выжить, но и стать весьма заметной в своей стране писательницей. Обеспечив литературным творчеством как достойную жизнь для семьи, так и очень обширный круг общения. На всем протяжении своего 50-летнего вдовства она была постоянным другом и собеседником для множества знаменитейших деятелей культуры Великобритании.

Оставшийся после этих двух выдающихся жизней богатый архив писем и бумаг, бережно сохранённый в семьях потомков, послужил основой для книги – как парного биографического портрета Клиффордов. При этом следует сразу подчеркнуть, что это ПЕРВАЯ (и она же пока последняя) в истории биографическая книга о великом учёном и мыслителе по имении Уильям Кингдон Клиффорд.

Проблема же с данной работой в том, что автор – то есть написавшая эту примечательную книгу Монти Чисхолм – является исследователем-гуманитарием. Иначе говоря, компетентного, содержательного и одновременно популярно изложенного рассказа о масштабах великого научного наследия Клиффорда от такой биографической книги ожидать просто не приходится.

С другой стороны, мужем и многолетним соратником в изысканиях Монти был математик Рой Чисхолм. Который помог, как мог, восполнить отсутствие у автора физико-математических знаний – написав заключительную главу книги с кратким профессиональным обзором научных достижений Клиффорда.

А кроме того, имея связи в высших сферах математической науки, Рой Чисхолм сумел привлечь к изданию книги знаменитейших в этой области людей – Майкла Атью и Роджера Пенроуза. Согласившихся написать вводное «Предисловие» и заключительное «Послесловие», соответственно.

Наконец, поскольку книга о Клиффордах вышла в самом начале столетия и почти одновременно с другой примечательной математической книгой, где автором предисловия также является Майкл Атья, а автором одной из обзорных статей Роджер Пенроуз, имеет смысл упомянуть здесь и эту работу: «Математика: рубежи и перспективы» (Mathematics: Frontiers and Perspectives. By International Mathematical Union, 2000).

С какой именно целью в историю про Клиффорда включен и этот большой сборник (Клиффорда не упоминающий вообще), разъяснения будут предоставлены ближе к финалу. Основную же часть дальнейшего рассказа предоставляет «Послесловие» Роджера Пенроуза к книге Чисхолм о «Серебряных потоках».

Обнаружить этот текст для ознакомления в интернете не удаётся ни в оригинале, ни в переводе тем более. А поскольку текст представляется весьма важным, имеет смысл дать здесь его перевод на русский (в немного поджатом виде, краткости ради пропустив подробности теорем).

[начало цитирования]

Роджер Пенроуз
Математика Уильяма Кингдона Клиффорда:
Личный взгляд

Имя Уильяма Кингдона Клиффорда было знакомо мне ещё с тех времён, когда я студентом занялся углублёнными исследованиями математики в начале 1950-х годов. Это был экстраординарно одарённый геометр, обладавший к тому же выдающимися способностями в алгебре и других областях математики. Кроме того, он был глубоко мыслившим философом, умевшим прекрасно выражать свои идеи во всех этих областях.

Имеется сразу несколько независимых маршрутов, на которых труды Клиффорда, проделанные за его короткую жизнь длиною меньше 34 лет, сильнейшим образом повлияли на направление моих собственных исследований, не говоря уже об исследованиях многих других математиков и физиков.

Главным математическим вкладом Уильяма Клиффорда ныне принято считать, судя по всему, введение в науку того, что ныне известно под названием «алгебра Клиффорда». Вне всяких сомнений, это алгебраическая структура огромной важности, оказавшая глубокое влияние также и на мою собственную работу, как я вскоре покажу.

Но не это, однако, было тем особым вкладом Клиффорда, который впервые произвёл на меня впечатление, когда я был студентом. И вовсе не это среди его результатов наиболее явно повлияло на направление моих последующих исследований. Так что важность и значение его работ нарастали для меня постепенно. Для получения представления о широте математических трудов Клиффорда, будет полезно, наверное, отметить здесь некоторые из тех других его вкладов, с которыми я познакомился на раннем этапе.

Впервые имя Клиффорда мне довелось услышать, я думаю, в связи с семейством геометрических теорем, известных как «цепные теоремы». Одну из теорем Клиффорда этого ряда можно довольно легко объяснить, и я считаю, что не будет неуместным, если я попытаюсь сделать это здесь.

[. . .]

Особенно же глубокую математическую значимость имеет открытое Клиффордом примечательное свойство трёхмерной сферы (то есть сферической трёхмерной «поверхности» в четырёхмерном пространстве). Это концепция того, что именуется сейчас параллелями Клиффорда.

Такие «параллели» на самом деле являются окружностями, которые параллельны в том смысле, что они никогда не становятся ближе друг к другу и не удаляются друг от друга по мере того, как мы движемся по этим окружностям. И при этом окружности зацеплены друг за друга. Клиффорд обнаружил, что вся трёхмерная сфера может быть заполнена такого рода непересекающимися «параллельными» окружностями, каждая из которых сцеплена с каждой из прочих.

Сейчас мы бы сказали, что трёхмерная сфера является фибрацией (расслоением) из параллелей Клиффорда, а в целом такая конструкция Клиффорда предоставляет парадигму того, что ныне известно как fibre bundle [«пучок волокон» в дословном переводе или «нетривиальное расслоение» в общепринятой русскоязычной терминологии математиков].


Проекция конфигурации Клиффорда, показывающая необычное расположение закручивающихся и зацепляющихся друг за друга окружностей.

Общепринятая математическая терминология часто бывает несправедлива по отношению к подлинным первооткрывателям математических результатов, и данный случай не является исключением. Ибо открытую Клиффордом фибрацию 3-сферы обычно принято именовать хорошо известным ныне термином Hopf fibration – «расслоение Хопфа»! (Сам Хайнц Хопф в действительности весьма аккуратно отдавал должное Клиффорду, но это признание заслуг первооткрывателя как-то быстро впоследствии было утрачено.)

Геометрическая важность так называемых фибер-расслоений (fibre bundles) была постигнута во второй половине 20-го века, и ныне эта конструкция лежит в основе как большей части геометрии искривлённых пространств, так и современных теорий взаимодействия частиц.

Рано появившийся пример Клиффорда иллюстрирует существенную тонкость всей этой идеи, на много лет опередившей своё время.

Кроме того, конфигурация Клиффорда при её проецировании на обычное 3-мерное пространство, как это показано на иллюстрации, предоставляет картину весьма необычного расположения закручивающихся и взаимно зацепленных окружностей.

Эта конфигурация, которая, как выяснилось, среди прочего отображает структуру углового момента вращающейся безмассовой частицы, такой как фотон (квантовая частица света), оказала большое влияние на меня лично.

Именно это обеспечило геометрическую реализацию того, что я искал в своих исследованиях на протяжении нескольких лет. И именно это, таким образом, положило начало теме «теория твисторов», которая является темой моих самых глубоких интересов свыше 37 лет. Наше неофициальное издание журнала Twistor Newsletter на протяжении долгого времени публиковало конфигурацию фибрации Клиффорда на своей обложке.

К теории твисторов, как выяснилось, можно подходить и с разных других точек зрения, а одной из них является алгебра Клиффорда. Уильям Клиффорд ввёл этот принципиально важный тип алгебры ближе к концу своей короткой жизни, между 1873 и 1878 годами.

В 1843 году Уильям Роуэн Гамильтон открыл алгебру кватернионов, которая обеспечила алгебраический подход к изучению обычного трёхмерного пространства. Новой особенностью кватернионов является то, что так называемое коммутативное свойство умножения ab=ba здесь более не выполняется, хотя другие свойства обычной алгебры сохраняются. Что же смог сделать Клиффорд, так это показать, как алгебру Гамильтона можно расширить, скомбинировав её с некоторыми более ранними идеями Германа Грассмана, чтобы она стала применима для любого числа измерений.

Этого удалось достичь за счёт отказа от закона деления (в соответствии с которым у любого ненулевого элемента a должен иметься обратный элемент a-1). Алгебру Клиффорда можно мыслить как структуру, построенную на основе базовой операции отражения – идеи, которая оказалась чрезвычайно важной в более поздних фундаментальных работах Эли Картана, Германа Вейля и многих других учёных в XX веке.

Ключевая роль алгебры Клиффорда обнаружилась и в квантовом релятивистском уравнении, открытом великим физиком Полем Дираком в 1928 году. На самом деле Дирак ничего не знал о гораздо более ранних работах Клиффорда, и по сути дела ему пришлось заново переоткрыть для себя необходимую часть теории Клиффорда.

Уравнение Дирака было воспринято как замечательный научный прорыв, ставший поворотным моментом в развитии математики для физики элементарных частиц. И оно же свидетельствует о воистину необычайной дальновидности Клиффорда, разработавшего один из таких важнейших компонентов этой революции, который более чем на 50 лет опережал своё время.

Теория Дирака предоставила математическое объяснение для любопытного феномена – квантово-механического спина электрона. И можно говорить, что волновое уравнение электрона описывается в терминах того, что сейчас называют спинорами (термин введён физиком Эренфестом). Спиноры же можно рассматривать как величины, на которые действуют элементы алгебры Клиффорда.

Сам Клиффорд, очевидно, рассматривал элементы своей алгебры просто как самостоятельные сущности, однако такого рода некоммутирующие элементы можно также рассматривать как операторы, действующие на какой-либо другой тип сущностей, в данном случае спиноры. В теории Дирака спиноры оказались необходимы для того, чтобы описывать квантовое состояние собственно электрона, однако для Клиффорда и его времени такого рода мотивация по естественным причинам была просто недоступна.

Полная n-мерная теория спиноров была разработана в исследованиях Ричарда Брауэра и Германа Вейля в 1935 году, фундаментально выстроивших свой анализ на основе алгебры Клиффорда. Спиноры были впервые изучены с другой (и более ограниченной) точки зрения Эли Картаном в 1913 году.

Твисторы можно рассматривать как спиноры для шести измерений; однако они напрямую соотносятся с 4 измерениями пространства–времени. Фактически, когда размерность пространства увеличивается на два (как здесь), спиноры удваиваются, так что твисторы могут быть представлены в виде пар пространственно–временных спиноров.

Особенно интересной здесь вещью оказывается то, каким образом спиноры и алгебры Клиффорда надстраиваются до более высоких размерностей, ибо их теория для случая n+2 измерений в некотором смысле оказывается удвоенной версией теории для n измерений. Эта особенность любопытно аналогична цепным теоремам Клиффорда, где каждая следующая конструкция прямо зависит от предыдущей, а количество кругов удваивается на каждом этапе!

Начиная примерно с 1968 года алгебры Клиффорда и спиноры стали обретать дополнительную важность благодаря работам Атьи и Зингера. Они показали, что все (эллиптические) дифференциальные уравнения могут быть в определённом смысле “деформированы” и разложены на такие базовые компоненты, которые по сути своей являются “уравнением Дирака” в n-мерной форме. Алгебры Клиффорда, а также связанные с ними спиноры, формируют таким образом фундаментальную часть их очень общей теории.

Ныне существует школа мысли, согласно которой алгебры Клиффорда должны быть заложены в основы универсального подхода к физической теории. На мой взгляд, эта точка зрения выглядит несколько ограниченной, но я бы согласился с тем, что спиноры в их разнообразных обличиях действительно предоставляют нам, похоже, более глубокий взгляд на физический мир, нежели более традиционные на сегодня векторные/ тензорные процедуры. Спиноры можно применять как к искривлённому пространству–времени общей теории относительности, так и к плоской геометрии.

Всё это было ещё одним в высшей степени проницательным вкладом Клиффорда при осознании наукой важности римановских геометрий искривлённого пространства для описания физической геометрии Вселенной как на малых, так и на больших масштабах. Причём было это примерно за 45 лет до того, как Эйнштейн создал свою общую теорию относительности!

Дабы завершить обзор на более личной ноте, расскажу о том, как около десяти лет тому назад я наткнулся на посмертно опубликованные «Математические фрагменты» Клиффорда. И там я был просто поражён, когда обнаружил, что он в теории инвариантов использовал схематические обозначения, чрезвычайно похожие на те, которые, как мне думалось, изобрёл я сам, хотя и примерно три четверти века спустя!

Клиффорд был человеком глубочайшей проницательности и во многих отношениях экстраординарно изобретательным. Но нет никакой возможности оценить тот вклад, который внёс бы этот выдающийся учёный, проживи он достаточно долгую жизнь. Поэтому приходится довольствоваться тем, чего он достиг реально. Его научное наследие является воистину потрясающим, а мы все – его наследники.

Роджер Пенроуз

[конец цитирования]

Обращаясь к теме наследия Клиффорда – наследниками которого являемся мы все – никак невозможно не напомнить такой поразительный факт. За полтора уже почти столетия после ухода учёного из жизни в мире так и не появилось ни единой научной биографии, содержательно рассказывающей об этом великом мыслителе и визионере.

И дабы стало предельно ясно, что это далеко не случайность, полезно внимательно пролистать уже упомянутый ранее и по всему примечательный том «Математика: границы и перспективы». Обзорную книгу-сборник, где на рубеже столетий три десятка наиболее видных из учёных математиков и физиков-теоретиков рассказали о лучших из достижений XX века и перспективах развития науки на век XXI.

Сколь бы поразительным это ни воспринималось после прочтения «Послесловия» от Пенроуза, но на более чем полутысяче страниц тома о «Рубежах и перспективах» имя Уильяма Клиффорда не упоминается вообще ни разу… Более того, хотя признаки фундаментального присутствия структуры под названием фибрация Клиффорда-Хопфа на всех масштабах устройства вселенной – от природы элементарных частиц до геометрии космоса в целом – уже давно не являются в науке новостью, среди открытий математической физики этот важнейший факт не упоминается вообще никак…

Но и это далеко не всё среди странностей и умолчаний, окружающих имя и наследие Клиффорда. Начиная с последнего десятилетия XX века в работах физиков и математиков «впервые» стали предприниматься серьёзные попытки дать подлинно научное – на языке математики и физики – описание устройства и процессов работы Сознания. Причём одно из видных мест в этом смелом предприятии занимают новаторские идеи и исследования нобелевского лауреата Роджера Пенроуза.

Однако слово «впервые» ко всем этим попыткам можно относить лишь в кавычках и применительно только к XX веку. Ибо в веке XIX над решением именно этой задачи – физико-математическое описание сознания на основе концепции «материи разума» и «здравого смысла» точных наук – начал работать Уильям Кингдон Клиффорд. Начал, но сделать, увы, успел очень мало из-за безвременной кончины.

Хотя в большой науке имя и идеи Клиффорда в контексте современных теорий об устройстве сознания упоминать совершенно не принято, в текстах «Путь Клиффорда» и «Фундамент Хопфа» достаточно подробно и внятно показано, что именно клиффордова программа представляет собой наиболее прямой и перспективный маршрут к решению этой великой проблемы.

Но это, впрочем, уже совсем другая большая история…

# # #

Дополнительное чтение:

Программа Клиффорда (геометрия и материя разума #2)

Фундамент Хопфа (геометрия и материя разума #3)

Нетривиальное расСЛОНение

Главная тайна Со-Знания

Игры, в которые играет Пенроуз

Премия для диссидента, или три Фэ от Пенроуза

Математические сны Майкла Атьи

# #

Основные источники:

Such Silver Currents: The Story of William and Lucy Clifford, 1845-1929. By Monty Chisholm. Lutterworth Press, 2002

Mathematics: Frontiers and Perspectives. By International Mathematical Union (Editors: V. I. Arnold , M.Atiyah, P.Lax and B.Mazur). American Mathematical Society, Providence, RI, 2000. Русская версия книги: «Математика: границы и перспективы», ФАЗИС, 2005

#