В процессе подготовки очередных эпизодов для двух разных сериалов — про «Бэкона в книге Картье» и про «Виттена как Гаусса сегодня» — обнаружились сильные сопряжения их тем с одним весьма давним текстом из цикла kniganews «Женщины, Эйнштейн и Голография» (ЖЭГ, 2014). Для полноты картины полезно разместить этот текст и здесь. Предыдущие части ЖЭГ см тут: [#1], [#2], [#3], [#4], [#5].
1. Немодные вещи
В 1981 году Фримену Дайсону довелось сделать доклад на еще одну близкую ему тему – о моде в науке. Выражаясь точнее, доклад носил название «Немодные занятия» [up], поскольку знаменитому физику-инакомыслящему куда дороже идея о том, что подлинно великие вещи практически всегда открываются не благодаря, а вопреки царящим на данный момент в науке теориям и школам.
Если излагать концепцию Дайсона в самых общих чертах, то выглядит она следующим образом. Как и все прочие люди, ученые также имеют тенденцию следовать текущей моде. Законодателей моды в науке физик не без иронии именует «мандаринами» и с готовностью признает, что в принципе здесь нет ничего плохого. Потому что и модные темы исследований, диктуемые нынешними мандаринами, вполне могут быть и актуальными, и значительными.
(Не говоря уже о том, что для всех научных карьеристов, рассчитывающих на быстрое получение грантов и престижных должностей, шансы на успех несоизмеримо выше, если следовать общепринятой моде.)
Проблема же заключается в том, что в любой конкретный момент истории науки – как показывает жизнь – наиболее важные и плодотворные идеи зачастую пребывают в пассивном или спящем состоянии. Просто по той причине, что они «сейчас немодные». По прикидкам Дайсона, в особенно близкой для него области математической физики совершенно обычным делом является время задержки порядка 50 или 100 лет – между тем, когда концепция новой идеи рождается, и тем, когда она, наконец, становится модной настолько, чтобы представлять мейнстрим научной мысли.
И при этом, подчеркивает Дайсон, именно такие вот немодные идеи и разрабатывающие их немодные люди зачастую оказываются наиболее важны для науки, ибо именно они решающим образом влияют на научный прогресс…
В качестве особенно ярких примеров из сравнительно отдаленного прошлого, докладчик напомнил невеселую судьбу двух больших открытий и их авторов, математиков XIX века Германа Грассмана (1809–1877) и Софуса Ли (1842–1899). Воспринятые поначалу как чисто абстрактные математические конструкции, алгебры Грассмана и группы Ли не привлекли почти никакого внимания со стороны коллег и современников. Сильно разочарованные равнодушным недопониманием, ученые-первооткрыватели так и не дожили до признания важности их изобретений.
И только лишь почти столетие спустя, во второй половине XX века, давно разработанный Грассманом и Ли инструментарий дождался-таки, наконец, своего часа – продемонстрировав огромную прикладную важность и став математической основой новейшей физики.
Для целей настоящего расследования, однако, наиболее примечательным оказывается другой исторический пример Фримена Дайсона из той же лекции [up]. Содержательный фрагмент на данный счет имеет смысл привести полностью:
Более свежим примером великого открытия в математической физике была идея калибровочного поля, изобретенная Германом Вейлем в 1918 году. Этой идее понадобилось всего 50 лет, чтобы занять свое место в качестве одной их базовых концепций в современной физике частиц. Квантовая хромодинамика, как теория, на 1981 год самая модная среди физиков, занимающихся частицами, концептуально представляет собой лишь немногим больше, чем синтез групп и алгебр Ли с калибровочными полями Вейля.
История открытия Вейля совсем не похожа на историю групп Ли и алгебр Грассмана. Потому что Вейль никогда не был ни аутсайдером, ни непризнанным ученым, а в 1918 году он работал в наиболее модной из областей физики – буквально только что народившейся общей теории относительности Эйнштейна.
Вейль изобрел калибровочные поля как решение модной проблемы – об объединении гравитации с электромагнетизмом. На протяжении нескольких месяцев его калибровочные поля были на самой вершине моды. Вскоре, однако, было обнаружено – и самим Вейлем, и другими, – что изобретение не делает тех вещей, которые от него ожидались.
Фактически, калибровочные поля оказались «не хороши» для тех целей, ради которых Вейль их изобретал. Как результат, они быстро стали немодными и были почти забыты.
Но затем, очень постепенно в течение следующих пятидесяти лет, стало ясно, что калибровочные поля оказываются важны в совершенно другом контексте, в теории квантовой электродинамики и в ее последующих расширениях, продвинутых вплоть до недавних разработок квантовой хромодинамики.
Решающий шаг в реабилитации калибровочных полей был предпринят Фрэнком Янгом, моим соратником по Принстону, и его молодым коллегой Бобом Миллсом в 1954 году [ym], за год до смерти Германа Вейля. Нет никаких свидетельств тому, что Вейль заинтересовался или хотя бы просто был в курсе относительно вещей, сотворенных Янгом и Миллсом с его детищем…
Таким образом, заключает Фримен Дайсон, в истории калибровочных полей немало иронии. Сильная идея была выдвинута известным математиком, который занимался супер-модной в ту пору физикой. У концепции было почти все, чтобы быстро стать тоже очень модной. Вот только цель, ради которой она была изобретена, оказалась недостижима. Хотя и отвергнутая мейнстримом, мощная идея и дальше, впрочем, получала поддержку и развитие – и от Вейля, и от других теоретиков – сумев пережить долгий период непопулярности, а затем, наконец, возродилась вновь – уже как краеугольный камень современной физики.
Сам автор калибровочной концепции, правда, и здесь до ее триумфа дожить не сумел…
2. Ирония и простота
Имеет смысл отметить, что вся глубина иронии вокруг калибровочных теорий по сию пору еще далеко не исчерпана.
В одной из обзорных работ [rs], подготовленной известными историками физики под самый конец прошлого тысячелетия и посвященной той выдающейся роли, что сыграла в науке интересующая нас концепция, говорится так:
Одним из главных достижений физики двадцатого века стало постепенное признание того, что общее свойство всех известных фундаментальных взаимодействий – это их калибровочная структура.[…] Понадобились десятилетия, пока физики не поняли, что все фундаментальные взаимодействия могут быть описаны в терминах калибровочных теорий…
Из этих фраз всякий читатель, далекий от тонкостей предмета, способен постичь две, по крайней мере, вещи: (а) идеи о калибровочных структурах утверждались в физике непросто и медленно; (б) однако теперь-то уж данная концепция заняла, наконец, воистину важное место обобщающего принципа в современной науке.
Но при этом остается вот какая неприятная штука. Если вы попросите ученого-физика объяснить суть калибровочных идей так, чтобы стало понятно и ребенку, то скорее всего, ничего путного из этой затеи не выйдет. Иначе говоря, одна из основополагающих концепций в основе современного научного мировоззрения продолжает оставаться, по сути, набором нетривиальных математических формул – которые для обычного человека не значат вообще ничего… Трудно признать, что это нормально.
Хуже того, если для доступного и наглядного объяснения идеи вы попытаетесь привлечь один замечательный физический феномен, известный под названием «эффект бразильского ореха» [h4B], то сведущие ученые почти наверняка вам скажут, что абсолютно никаких взаимосвязей с калибровочными теориями тут нет и в помине. Ибо для физиков это совершенно разные вещи…
Но давайте присмотримся чуть-чуть повнимательнее.
Суть эффекта бразильского ореха – самопроизвольное, под действием вибрации, разделение на фракции гранулированной смеси, состоящей из частиц разного размера. Каждая фракция или слой частиц исходной смеси в итоге содержит в себе гранулы примерно одинакового размера или «калибра». Иначе говоря, при переходе рассмотрения от слоя к слою среда остается той же самой, но изменяется масштаб частиц, представляющих эту гранулированную среду.
В 1918 году, когда Герман Вейль придумывал свой оригинальный способ объединения гравитации с электромагнетизмом, он выбрал термин «калибровочные преобразования» далеко не случайно. А по той причине, что речь шла о неизменности или инвариантности физики в условиях, когда изменяется масштаб пространства-времени. Или иначе, изменяется лишь «калибр» измерительного инструмента.
(Говоря упрощенно, идея была в том, что все известные нам физические взаимодействия имеют в основе своей единую геометрическую природу – как эффекты искривления пространства. Но при изменении масштаба рассмотрения, как стало ясно из теории относительности Эйнштейна, геометрия пространства-времени существенно усложняется. Если же для учета усложнений подобрать подходящие математические – «калибровочные» – преобразования, то одни и те же, в принципе, уравнения можно было бы использовать для описания как гравитации, так и электромагнетизма.)
Чтобы стало понятнее, почему у бесспорно великого математика Германа Вейля ничего хорошего с этой несомненно великой идеей поначалу не получилось, надо напомнить, что дело было в 1918 году. До рождения квантовой механики (неразрывно связанной с феноменами электромагнетизма) оставалось еще почти десятилетие, так что первая калибровочная теория Вейля носила сугубо классический характер. Соответственно, уже известные в ту пору эффекты квантовой физики она не предсказывала никак…
3. Раньше или позже
С другой стороны, математически эффектную работу Вейля в том же 1918 прочел Теодор Калуца, крайне вдохновился общей идеей и вскоре – к собственному удивлению – открыл другой интереснейший способ для органичного объединения электромагнетизма и гравитации. (Мало кто обращает внимание, кстати, на весьма занятный факт: Вейль и Калуца пришли в этот мир в один и тот же день одного и того же года, 9 ноября 1885, только в разных местах Германии.) Калуца обнаружил другое геометрическое решение той же задачи через добавление еще одного измерения и рассмотрение уравнений ОТО Эйнштейна в условиях 5-мерного пространства-времени.
Более того, практически одновременно с публикацией результатов Калуцы, в начале 1920-х годов появилась и третья очень любопытная теоретическая работа – от французского математика Эли Картана – в которой теория гравитации Эйнштейна получила развитие еще одним новаторским способом, через ввод новой геометрии с кручением пространства. Имя Картана, напомним, нам уже встречалось, поскольку это именно он чуть раньше «с упреждением» открыл математику спиноров – за десятилетие с лишним до того, как она стала очень нужна в квантовой механике вместе с открытием спина частиц…
Теперь зафиксируем факт: история физики в начале 1920-х сложилась так, что по сути в одно и то же время родились три созвучные, но существенно разные геометрические концепции, на первый взгляд никак не связанные друг с другом. (То, что это разные стороны одной и той же картины, начнут понимать значительно позже, хотя постичь всю глубину единства структуры не удалось и по сию пору).
Каждая из данных идей о природе пространства-времени по-своему красиво развивала эйнштейнову ОТО. При этом хорошо известно, что Альберту Эйнштейну все три эти теории нравились – либо интуитивно, либо эстетически, – поэтому каждую из них он так или иначе впоследствии пытался применить для решения гранд-задачи по объединению всех сил природы. Без особого, правда, успеха.
Впечатляющие теоретические успехи на данных направлениях начали происходить уже после смерти всех упомянутых здесь первопроходцев. Наряду с идеями калибровочных полей, получившими грандиозное развитие при создании Стандартной Модели физики, концепция пространств более высокой размерности также уже давно стала очень модной, (даже без всяких подтверждений экспериментами) прочно войдя в физический мейнстрим благодаря математическим достижениям теорий струн и суперсимметрии.
Единственным очевидным исключением в этой картине больших успехов выглядит концепция Картана или, как ее предпочитают называть с некоторых пор, теория Эйнштейна-Картана (ТЭК). В потенциале своем ничуть не менее богатое и многообещающее, данное направление теоретических исследований во второй половине XX века тоже получило существенное развитие, но модным в физике оно так и не стало по сию пору.
При этом особо интересными представляются вот какие вещи. Именно на данном «немодном» направлении уже довольно давно прослеживается наиболее отчетливая и интересная связь с гидродинамикой. Соответственно, данная теория позволяет красиво и естественно прояснять через гидродинамику и квантовую физику наиболее странные свойства пространства-времени. И наконец, это просто очень важный ключ к постижению голографической конструкции в основе единой природы сознания и материи.
Иначе говоря, геометрическая теория взаимодействий от «всегда немодного» Картана явно заслуживает того, чтобы познакомиться с ней поближе.
Да и 100-летний «срок выдержки» – по Дайсону – уже, считай, почти что на исходе…
4. Тайная птица физики
Великий математик XX века, Эли Жозеф Картан (1869-1951), на протяжении всей своей долгой жизни был совершенно далек от моды. Он никогда не пытался получить работу в престижных научных центрах Германии или, позднее, в вожделенных для кого-то США, предпочитая оставаться в родной для него Франции. А для исследований всегда выбирал такие математические направления, интерес к которым даже многие из даровитых коллег понять совершенно не могли.
Для примера достаточно, наверное, сказать, что по окончании высшей школы в качестве темы для своей диссертации (1894) Картан выбрал почти никому не интересные в ту пору алгебры и группы Ли. А затем разрабатывал это направление на протяжении еще 20 лет практически в одиночку – пока, образно выражаясь, не подрос Герман Вейль, а вместе с ним доросла до важности темы и вся физико-математическая теория.
Поскольку одной из главных черт личности Картана была его редкостная скромность, среди великих математиков первых десятилетий XX века чуть ли не единственными, кто отчетливо видел и особо отмечал выдающиеся дарования Картана, были Анри Пуанкаре и Герман Вейль. Именно Пуанкаре лично поспособствовал закреплению Картана в столичной Сорбонне, но последовавшая вскоре (1912) трагическая кончина гениального ученого оборвала все надежды на их возможное плодотворное сотрудничество.
Что же касается творчества Вейля, то историки науки особо отмечают, что в математике XIX-XX веков не найдется, пожалуй, другого примера столь тесных и постоянных, на протяжении многих десятилетий, переплетений общих тем, как это прослеживается в равно выдающихся исследованиях Эли Картана и Германа Вейля. Но при этом, что обязательно следует подчеркнуть, если значительный вейлев вклад в математическую физику общеизвестен, то картановы результаты по сию пору принято считать чистой математикой – с минимальным влиянием на физическую науку…
И коль скоро цель настоящего раздела – продемонстрировать огромную важность работ Картана именно для физики, представляется вполне естественным рассказывать эту историю в виде хронологического сопоставления: что делал он, что делал Вейль и что делали остальные. Ибо Картан – как подлинная птица – летал над физикой настолько высоко, что его особое видение проблем не только абсолютно недооценивалось в прошлом, но даже и сегодня не воспринимается как физическое исследование реальной природы.
5. Три цитаты
Чтобы проиллюстрировать данный факт выпукло и наглядно, достаточно привести несколько свидетельств от компетентных и весьма известных в науке людей.
В «Словаре научных биографий» [sb] видный французский математик Жан Дьедонне пишет о научной судьбе Картана следующее:
Многие задачи он исследовал в чрезвычайно необычном стиле, который был возможен исключительно благодаря его уникальному алгебраическому и геометрическому видению. И стиль этот крайне озадачивал два поколения математиков.
Признание Картана как первоклассного математика пришло к нему уже в старости. […] Только лишь после 1930 года (когда Картану пошел седьмой десяток лет), молодое поколение начало исследовать то богатство идей и результатов, которые лежали погребенными в его статьях.
С той поры влияние его начало постоянно нарастать, и за исключением Пуанкаре и Гильберта никто, наверное, не сделал столь же много, чтобы придать математике наших дней ее нынешнюю форму и взгляды на предмет.
Когда в 1951 году Эли Картана не стало, то один из самых глубоких, содержательных и часто цитируемых текстов в память о великом ученом написали два выдающихся математика XX века, Чэнь Синшэнь (также известный как Черн) и Клод Шевалле [cc]. При всех достоинствах этого текста, на трех с лишним десятках страниц рассказывающего о математических достижениях Картана, слово «физика» встречается там всего один раз. Причем в контексте весьма выразительного сопоставления:
Смерть его наступила во времена, когда репутация Картана и влиятельность его идей были в полном зените. Вне всяких сомнений, это был один их величайших математиков нынешнего столетия, чью карьеру можно охарактеризовать как редкостную гармонию гения и скромности.
… [В области физики] Картан был первым, кто ввел идею римановых пространств с кручением, что позднее послужило основой для эйнштейновой теории единого поля. Но очевидно, эти исследования не имеют такой же важности, как исследования Картана в области чистой математики…
Третья, финальная цитата некоторым боком также связана с Черном, но только относится уже к середине 1970-х годов. Примерно в это время, после двух десятков лет очень успешного развития теории калибровочных полей Янга-Миллса, физики сделали сопутствующее «великое открытие». Пораженные теоретики обнаружили, что «их» физические калибровочные поля в действительности давно известны математикам – под названием «связности на расслоенных пространствах». Но только смежники изучали эти вещи чисто абстрактно, как чистую математику и без всяких идей об устройстве физической реальности.
Через несколько лет после этого удивительного открытия Фрэнку Янгу довелось выступать на юбилейных чествованиях Черна (Чэня) Синшэня [cs], выдающегося тополога XX века, где физик среди прочего рассказал и о таком их недавнем диалоге на данный счет:
Когда я встретился с Чэнем, то рассказал ему, что наконец-то понял смысл нетривиального расслоения, красоту теории расслоенных пространств и прекрасной теоремы Чэня-Вейля (о связи кривизны пространства с топологическими инвариантами). И тут же добавил: «Совершенно непонятно и загадочно, как вы, математики, смогли придумать все это на пустом месте»? На что Чэнь немедленно мне возразил: «Нет-нет, эта концепция отнюдь не выдумана – она естественна и реальна»…
Подлинный юмор приведенного диалога заключается в том, что слова обрываются здесь на самом интересном месте. Слушатели сами должны домысливать, что подразумевал Чэнь под «естественностью и реальностью». Быть может, он имел в виду, что это мир исследований чистых математиков является столь же реальным, как и наблюдаемый нами мир природы. (Примерно в таком ключе трактует данную известную цитату общепринятое мнение.)
Но может быть и так, что Чэнь-Черн действительно хорошо знал общую предысторию вопроса. И был в курсе, что на самом деле концепция расслоений и связностей на расслоенных пространствах изначально появилась в математике как идея, удобная и полезная для решения сугубо физических задач, связанных с геометрией и природой пространства-времени. Что ввел эти вещи в 1920-е годы Эли Картан, правда, под другим названием. Но затем, когда к ученому пришла заслуженная слава математика, о его физических работах почему-то предпочли не вспоминать…
В сущности, для нас сейчас совершенно неважно, что там знал Черн, а что нет. Куда важнее то, что о выдающейся роли Картана как физика внятно и отчетливо никто не рассказал ни тогда, ни впоследствии – вплоть до сегодняшних дней. И выглядит это как большая ошибка и несправедливость.
Что, ясное дело, пора исправлять.
Ибо ключевой момент данного сюжета сводится к следующему странному факту. Ученые почти столетие бьются над тем, каким образом объединить квантовую физику и теорию относительности. Некоторое время назад было обнаружено, что в основе квантовой физики лежит мощная математическая концепция – связности на расслоенных пространствах. И что существенно, ввел эту идею в физику великий математик Эли Картан. Причем ввел он её еще до рождения квантовой механики, для построения своей – более точной и естественной (т.е. более «физичной») – версии эйнштейновой теории относительности…
Иначе говоря, вот же он, объединяющий принцип – берите. Почему-то никто не берет.
(Выражаясь аккуратнее, пытаются брать, конечно. Но только, похоже, всякий раз не за то место.)
6. Погода как метафора
Начиная рассказ о недолгом, сравнительно, визите Эли Картана «на планету Физика», представляется полезным сразу сделать одно очень важное замечание. Даже математики самого крупного масштаба, включая и особо близкого Картану Германа Вейля, не раз признавались, что подлинную глубину идей в работах этого ученого зачастую постичь очень и очень сложно. Чего уж тогда говорить о физиках…
Если же принять во внимание, что многие революционные вещи, открытые Картаном и получавшие от него одно название, затем переоткрывались повторно и ныне известны уже под другими именами, то выходит вот какая непростая ситуация. В популярном изложении «для всех» надо рассказать не только о весьма нетривиальных, даже поныне не полностью постигнутых идеях Картана, но еще и опираться при этом на такую общепринятую терминологию, которой сам Картан не пользовался…
При столь озадачивающих исходных условиях наиболее перспективным (или остроумным, если угодно) представляется путь, подсказанный в одной из современных биографий Эли Картана [jg]. Когда там рассказывается, как математик в начале 1920-х годов заинтересовался геометрическими проблемами теории относительности и в ходе этих исследований ввел концепцию, ныне известную как расслоение (fiber bundle по-английски), то физический смысл собственно идеи поясняется с помощью наблюдений за погодой в разных точках земной поверхности.
А погода, как известно, волнует всех.
Иначе говоря, далее будет предпринята весьма нахальная попытка иносказания. Суть практически всех физических идей Картана об устройстве пространства и материи можно переложить на общедоступный язык «метеорологических наблюдений за планетой». Эта планета не всегда и не во всем похожа на нашу, однако многие соображения оказываются справедливыми также и для Земли.
Благодаря такому подходу, даже те люди, которые чрезвычайно далеки от физики-математики, могут получить достаточно внятное (и в принципе очень полезное) представление о невидимом для нас устройстве вселенной. Ну а серьезные ученые без особых, хочется надеяться, затруднений разглядят за этими наивными метафорами чрезвычайно глубокие идеи, лежащие в единой основе математики и физики, пространства и времени, сознания и материи.
7. Корабли и водовороты
Дабы сразу и четко был обозначен тот фон, на котором идет рассказ, следует подчеркнуть, что погода на планете – это система на основе воды в ее разнообразных фазовых состояниях и взаимодействиях. Иначе говоря, гидродинамические по сути феномены являются фундаментом всего, что происходит в системе.
А в гидродинамике, как известно, помимо волн и потоков-течений еще одним элементом принципиальной важности являются вихри. Именно вихревые эффекты в их разных ипостасях и стали, можно сказать, основой идей Картана относительно физики и геометрии пространства. В этом же, собственно, заключается и суть его улучшений ОТО, то есть гравитационной теории Эйнштейна. (В уравнениях которой, надо отметить, никаких вихревых эффектов нет в принципе…)
Если говорить о сути этих улучшений на языке математики-физики, то уравнения эйнштейновой ОТО описывают фактически пустое пространство. А математика Картана, соответственно, сделала формулы более приближенными к реальности – введя в это описание спиноры, как собственное вращение материи, и показав, что при этом в пространстве появляется эффект кручения.
На более доступном «языке воды» эту идею можно пояснить так. Когда корабль кратчайшим путем плывет из одной точки в другую по деформированной поверхности океана, то ОТО Эйнштейна, грубо говоря, учитывает кривизну пространства лишь по тому, как изменяется наклон мачты относительно траектории движения – вперед или назад.
Но мачта реального корабля, как известно, под действием ветра, волн и водоворотов может отклоняться в любую сторону – т. е. не только вперед-назад, но и вправо-влево (а также в любом сочетании этих базовых направлений). Так вот, концепция Картана о кручении пространства и дает математический инструмент для учета таких проявлений кривизны. Причем из самой структуры уравнений ТЭК следует, что эти эффекты «закручивания» траектории на поверхности неразрывно связаны с присутствием в системе спиноров.
В конце 1920-х годов Альберт Эйнштейн независимо, как принято считать, от Картана тоже разрабатывал эту концепцию, пытаясь на основе эффекта кручения пространства встроить в ОТО электромагнетизм – для создания очередной версии своей единой теории поля (и в очередной раз безуспешно, дело известное). По этой причине исторически за разработкой и закрепилось краткое название ТЭК или в латинице ECT, от Einstein-Cartan Theory.
Особо интересно отметить, что с формальной точки зрения считать «неуспехом» гравитационную теорию Картана нет совершенно никаких оснований. Сила ее математики такова, что абсолютно все предсказания ОТО, проверенные экспериментами, аналогично предсказываются и ТЭК. Что же касается тонких эффектов, предсказываемых в ТЭК, но не в ОТО, то для их экспериментальной проверки пока что и близко нет физических возможностей. Иначе говоря, на сегодня статус ТЭК – еще одна потенциально мощная, но совершенно немодная теория.
8. Метеорология по Картану
О том, в чем именно заключается мощь теории Эйнштейна-Картана, более логичным будет рассказывать чуть позже, в контексте ее соответствия новейшим открытиям из областей суперструн, голографии и AdS/CFT. Пока же история продолжает следовать общей хронологии, ибо самое время рассмотреть, что еще ценного в 1920-годы внес в физику Эли Картан.
Общеизвестно, что он, как и многие другие в ту пору, очень заинтересовался и занялся собственным развитием «калибровочных» идей Германа Вейля, указавших путь к сведению гравитации и электромагнетизма в единую теорию на основе геометрии. Куда меньше известно, что именно в те же годы, 1922-1925, Картан параллельно занимался задачами из области гидродинамики [ch].
В частности, сначала у него вышла статья «О малых колебаниях жидкой массы», а некоторое время спустя – работа «О генерации вынужденных колебаний», подготовленная совместно с более продвинутым в подобных вещах сыном, Анри Картаном, впоследствии также одним из выдающихся математиков XX века.
Если принять во внимание, что именно в этот период другой французский ученый, Луи де Бройль, ввел в квантовую физику концепцию «частица как волна», то несложно углядеть достаточно очевидные взаимосвязи и мосты, которые Картан пытался навести между классическими теориями гравитации и электромагнетизма, калибровочной концепцией Вейля и квантово-волновыми идеями де Бройля.
Существенного развития эти попытки, насколько известно, впоследствии у Картана не получили. Однако сам принцип, на основе которого был намечен путь объединения, остался в истории вне всяких сомнений. Пусть его и не связывают сегодня с именем немодного Эли Картана. По этой причине, правда, ускользает также и «гидродинамическая» основа, изначально подводившаяся математиком под калибровочную идею о связностях на расслоенных пространствах…
Иначе говоря, пора данный факт зафиксировать.
Естественность картановой идеи расслоений можно пояснять с помощью такой наглядной иллюстрации. Когда мы наблюдаем за погодой, то в каждой (доступной метеорологам) точке на поверхности планеты производится регулярная регистрация разнообразных параметров: сила и направление ветра, температура и давление, уровень осадков и влажности… Понятно, короче.
Для начала сосредоточимся на задаче наблюдений за ветром. Множество всех тех точек на поверхности Земли, где ведутся наблюдения, назовем «базовым многообразием». При этом для каждой точки имеется другое, собственное многообразие — из множества показаний, регистрирующих ситуацию с ветром в данном месте планеты. Такой набор наблюдений и называют fiber или «слой» в данной точке (русский перевод термина представляется неудачным, но другого пока не придумали).
В совокупности же данная пара, состоящая из всех фибер-слоев и всех точек базового многообразия, — это, в нестрогом изложении, и есть расслоение или fiber bundle. Математически строго сформулированная концепция для конструкции такого рода, как выяснилось со временем, оказывается фундаментально важной для удивительно обширных областей математики и физики.
Нас, впрочем, в данный момент интересует не столько универсальная ценность конструкции, сколько важность конкретной идеи связностей на расслоенных пространствах. В наивном переложении на погоду, ветры и ландшафты земной поверхности эта идея может быть представлена так.
Сам по себе ландшафт планеты выглядит хаотичным и не обладает никакими признаками регулярности или симметрии (за исключением самой тривиальной симметрии, круговой, когда «во все стороны все в одинаковом беспорядке»). Наблюдения за ветром в той или иной точке местности тоже дают весьма беспорядочную картину поведения атмосферы. Однако, если наблюдать погоду достаточно долго и сопоставлять поведение ветров в разных точках, то без особого труда отыскиваются закономерности — как в направлении ветров, так и в увеличении-уменьшении силы ветра.
Если излагать идею чуть иначе, в терминах математики, то хотя базовое многообразие (ландшафт планеты) с точки зрения перемен кривизны отчетливых симметрий в себе не имеет, погода в фибер-слоях ветра определенно демонстрирует признаки симметрии или «связности» в системе (в условиях Земли — это гигантские вихри циклонов и антициклонов, периодически сменяемые общими переносами воздуха в направлении с востока на запад).
Еще раз переформулировав ту же идею в терминах физических полей, можно построить такую упрощенную аналогию для чрезвычайно непростой задачи. Если считать сложный и непредсказуемый ландшафт в геометрии вселенной (искривления гравитационного поля) аналогом ландшафта планеты, а предсказуемые электромагнитные поля — аналогом «поля ветров», то автоматически получается и похожее соответствие для физических теорий и погоды.
Как нет очевидной связи между погодой и рельефом конкретной местности, также не получается выстроить и единую теорию для квантовой физики и гравитации. Но при этом наблюдения за погодой предоставляют и еще одну очень существенную аналогию. Подобно тому, как погода — это не только ветер, но также и температура, и давление, и осадки, так и природа физических взаимодействий включает в себя больше, чем эффекты электричества и тяготения.
И несложно, наверное сообразить, что если внимательно изучать связности в таких расслоениях, как «поле температуры», «поле давления», «поле осадков», «поле ветров», то в совокупном рассмотрении для конкретного региона планеты все эти взаимосвязанные погодные данные могут дать и существенную информацию о рельефе местности.
Короче говоря, если опять возвращаться к математической стороне проблемы, то фундаментальная идея Картана заключалась в том, чтобы через симметрии в расслоениях «ухватить» общую симметрию всей геометрической задачи в целом. По сути дела, к тому же самому — только в других терминах — сводится и концепция о фундаментально важной роли калибровочных полей для единства картины современной физики…
9. Мода и предубеждения
Физические работы Эли Картана, пора еще раз напомнить, в 1920-е годы практического никакого резонанса в научном сообществе не получили, оставшись по сути дела неизвестными. Даже прочитавший их Герман Вейль с идеями коллеги в целом ряде концептуальных аспектов не согласился, о чем написал сначала вкратце в 1925, а затем и в развернутом критическом материале [wf] от 1929 года (созвучная, но собственная математическая философия Вейля относительно геометрии в основах физики на тот период заметно отличалась от теорий Картана).
Немаловажно, что именно в этот же период времени квантовая физика переживала революционные свершения благодаря открытиям Гейзенберга, Шредингера, Дирака и их соратников. Как результат стремительного развития квантовой механики, частицы «обрели» спин и получили точное описание через волновую функцию Шредингера, а уравнение Дирака свело в единое целое и волновую природу частиц, и их спин, и релятивистские эффекты специальной теории относительности Эйнштейна.
Попутно весьма ощутимое развитие получил и калибровочный принцип Вейля. Теперь уже, правда, калибровочная инвариантность обнаружилась в рамках новой квантовой механики — вообще без отсылов к гравитации. То есть красивая математика, оперирующая симметриями и законами сохранения, осталась примерно той же самой, но только роль метрики взяла на себя волновая функция, а «калибровочное» перемасштабирование метрики, соответственно, стало теперь переменами в фазе волновой функции…
Иначе говоря, благодаря другу Шрёдингеру и работам молодых теоретиков, Владимира Фока и Фрица Лондона [fl], Герман Вейль увидел, что его калибровочные идеи подходят для квантового мира намного лучше, чем для мира классического. Единственное, по сути, что требовалось сделать для преобразования классической калибровки в квантовую, — это заменить действительные числа комплексными. Очень похожим образом, можно напомнить, было открыто и волновое уравнение Шрёдингера.
Напомнить, впрочем, надо и тот факт, что данный эпизод не оказал сколь-нибудь заметного влияния на развитие физики в ту эпоху, а подлинное понимание важности калибровочных идей и соответствующий разворот моды наступят в научном сообществе примерно лет через тридцать.
Практически все то же самое можно сказать и еще об одном великом, без всякого преувеличения, открытии, которое пытался сделать примерно в тот же период другой человек — шведский теоретик по имени Оскар Клейн. Что именно помешало даровитому, вне всяких сомнений, ученому развивать свои замечательные идеи о 5-мерном объединении квантовой физики и ОТО, сегодня вряд ли кто знает. Но некоторые из косвенных, по меньшей мере, причин известны достаточно хорошо.
Клейн всегда, особенно в наиболее продуктивный период молодости, старался следить за научной модой. При этом (или даже поэтому) он пытался одновременно решать несколько разных задач. И хотя ему нередко сопутствовал в исследованиях успех, Клейн заранее и вполне осознанно ограничивал собственный потенциал предубеждениями и предрассудками. (Например, он всегда особо подчеркивал свой научный скептицизм — что было модно — и лишь на этом основании заведомо отвергал какую-либо связь пятого измерения с мистикой, потусторонним и паранормальным. Никаких тому доказательств, естественно, у Клейна не имелось, но было вполне достаточно просто «веры скептика»).
Здесь, впрочем, нас интересуют не столько издержки научной моды, сколько интереснейшие теоретические результаты и концептуальные идеи Оскара Клейна, обгонявшие современную ему науку как минимум на несколько десятилетий. Причем глубина некоторых из его догадок не постигнута, похоже, и по сию пору.
Знаменитая ныне теория Калуцы-Клейна, математически красиво объединившая электромагнетизм и гравитацию, изобреталась двумя этими учеными независимо и, можно сказать, с разных сторон. Теодор Калуца пришел к ней чисто классическим путем, «просто» расширив 4-мерный тензор Эйнштейна до 5 измерений и проведя надлежащие преобразования уравнений.
Что же касается Клейна, то он изначально занимался задачей объединения квантовой физики с ОТО Эйнштейна, а потому получил не просто аналогичный результат, но и с уже готовым рецептом квантования — замкнув пятое измерение в пространственное кольцо крошечного размера.
И что надо отметить особо, размышляя над физическим смыслом полученной картины — где все частицы материи находятся в нескончаемых колебаниях по пятому измерению — Клейн сделал еще и вот какое интересное предположение о природе происхождения планковского кванта энергии [ok2]:
В прошлой своей статье [ok1] автор показал, что дифференциальное уравнение, лежащее в основе новой квантовой механики Шрёдингера, может быть выведено из волнового уравнения пятимерного пространства, в котором константа Планка исходно не фигурирует, но она появляется в связи с периодичностью в пятой координате.
Хотя и неполный, этот результат, в сочетании с уже изложенными соображениями, предполагает, что происхождение планковского кванта может быть обнаружено просто вот в этой периодичности пятого измерения.
Чуть позже мы увидим, насколько точным и важным оказывается это предположение для работы всей голографической конструкции — когда его удается правильно сочетать с физическими идеями Эли Картана и с интуицией Германа Вейля относительно уравнения Дирака…
Здесь же непременно следует упомянуть о еще нескольких примечательных идеях Оскара Клейна. О том, в частности, насколько красиво и органично ему удавалось встроить в математику 5-мерного мира другие важные открытия того времени: калибровочную инвариантность и ядерные взаимодействия. Причем сделать это придется в весьма тревожном историческом контексте.
10. Тучи сгущаются
Среди так называемых «чудес Калуцы-Клейна», то есть математически неожиданных вещей, которые теоретики с удивлением открыли для себя в 5-мерной версии уравнений ОТО, обнаружился и очень интересный факт для калибровочной теории.
Как показал Оскар Клейн, то, что в физике обычного четырехмерного пространства-времени принято называть калибровочными преобразованиями, в пространстве более высокой размерности 5 оказывается простым преобразованием координат — типа вращения системы.
Дабы как можно нагляднее и доходчивее пояснить эту чрезвычайно важную идею, удобно прибегнуть к иллюстративному примеру с куда более ясными пространствами — размерности 2 и 3.
Представим себе не частицу с ее взаимодействиями, а некий загадочный физический объект, природу которого исследователи пытаются постичь, просвечивая его тремя разными излучениями (или воздействуя тремя разными полями, если угодно). Плоские снимки с двумерными результатами таких «просвечиваний» каждый раз выглядят следующим озадачивающим образом.
На первый взгляд, загадка кажется неразрешимой, коль скоро выявленные симметрии — круга, квадрата и треугольника — не могут, по идее, все сразу принадлежать одному и тому же стабильному объекту. Но если как следует подумать, однако, то решение отыскивается — в пространстве более высокой размерности 3.
Данная конфигурация (нечто подобное обычно называют «затычкой во все дырки») получается хитрой обработкой цилиндра, так что в трех разных проекциях объект действительно выглядит как круг, как квадрат и как треугольник. А чтобы перейти от одной плоской проекции к другой, надо в 3D-пространстве просто вращать объект или систему отсчета на 90 градусов в ту или иную сторону…
На этом несложном, но крайне полезном примере можно увидеть, насколько тесно и неразрывно в геометрическом смысле связаны три идеи, очень важные для объединения всех физических взаимодействий в единую теорию — вращение пространства, калибровочные преобразования (переводящие симметрии одних сил в совершенно другие) и увеличение размерности пространства.
Все эти вещи в целом были поняты, напомним, уже к началу 1930-х годов. И что особо примечательно, даже когда были открыты нейтрон, мезон, новые ядерные взаимодействия, и к середине 1930-х родилась целая новая область «ядерная физика», то это ничуть не ослабило 5-мерную теорию. Скорее, даже усилило, поскольку Оскар Клейн сумел довольно оперативно отыскать решение для встраивания ядерных взаимодействий в свою конструкцию. Попутно обнаружив при этом такие вещи, которые станут общеизвестными лишь 20 с лишним лет спустя — благодаря повторным открытиям уже совсем других людей.
Ну а в 1938, когда Клейн представил свои результаты научному сообществу, практически никто его не услышал. И даже не столько потому, что популярная некогда 5D-теория давно стала немодной, а просто времена были уже другие, предгрозовые…
Случилось так, что ядерная физика зарождалась одновременно с приходом к власти нацистов в Германии. И если обнаружение совершенно новых — ядерных — взаимодействий «всего лишь» убило надежды на скорое создание единой теории поля, то последствия второго события оказались для дальнейшей судьбы физики куда более трагичными.
Ярый антисемитизм нацистов, по сути дела разваливших великую прежде германскую науку, стал лишь первым сигналом того, насколько катастрофичными могут быть последствия от вмешательства политиков в научные исследования. В дальнейшем будет еще много, очень много подобных сигналов — уже из других стран и периодов истории…
Но не будем, однако, нарушать хронологию рассказа. И зафиксируем в истории физики еще один эпизод, не только подходящий по времени и теме, но и напрочь всеми забытый на полустолетие. Из разряда «упущенных возможностей», короче говоря.
11. Не нужно и не модно
В конце мая 1938 по инициативе польских ученых в Варшаве был устроен очень представительный научный симпозиум «Новые теории в физике». С одной стороны, в этом форуме принимало участие целое созвездие светил мировой науки — вроде Бора, де Бройля, Эддингтона, Ланжевена, Клейна, фон Неймана, Вигнера и так далее. Но с другой стороны — было отчетливо заметно отсутствие ученых из Германии, СССР и Италии, которых оргкомитет не пригласил совершенно умышленно и явно по политическим мотивам. До начала второй мировой войны оставалось еще чуть более года, однако трещины раздоров уже вовсю начали раскалывать и мир, и науку.
Как выяснится впоследствии, варшавский симпозиум оказался последним значительным форумом в истории довоенной физики. А коль скоро после войны и атомной бомбы уже вся физическая наука станет существенно другой, то именно здесь, по сути дела, прошел рубеж, отделивший физику прежнюю от физики нынешней. И очень символично, что самый выдающийся доклад на конференции в Варшаве сделал Оскар Клейн [ok3], однако «открыли» и оценили эту работу лишь после окончания Холодной войны, в 1990-е годы [dg][rs].
Именно в этом своем исследовании Клейн, фактически, сделал первую в истории физики попытку по созданию «теории всего» в ее нынешнем понимании. То есть теории, объединяющей в своей конструкции и гравитацию, и электромагнетизм, и ядерные взаимодействия. Сделано это было, ясное дело, на основе уже известной 5-мерной теории Калуцы-Клейна (КК), но теперь с применением калибровочного принципа Вейля к ядерным силам.
Чтобы пояснить всю революционную суть клейновой модернизации, придется немножко углубиться в технические подробности, но это действительно нужные детали, которые далее также понадобятся для разъяснения сути голографической конструкции.
Во-первых, если в прежней версии теории КК описываемые поля никак не зависели от пятой координаты пространства, работая сами по себе, то теперь была установлена их зависимость от позиции в 5-м измерении — через особый калибровочный «множитель вращения».
Во-вторых, еще одним очень важным добавлением стал особый член в 5-мерном метрическом тензоре. Этот добавочный компонент содержал в качестве сомножителей то, что ныне именуют калибровочным потенциалом, а также обычную матрицу Паули, описывающую поведение частицы-спинора.
(Когда дело — уже скоро — дойдет до разъяснения голографической конструкции, весь этот математический слэнг станет возможным перевести и разъяснить с помощью более доходчивых общечеловеческих образов.)
Суть же математического волшебства Клейна заключалась в том, что в итоге, после преобразований нового тензора по стандартным для КК рецептам, получились не уже известные уравнения Эйнштейна и Максвелла, а нечто более любопытное и современное. В настоящее время данный набор уравнений известен под названием уравнений Эйнштейна-Янга-Миллса.
Более того, при обсуждении этого доклада там же на симпозиуме, Клейн попутно сделал несколько технических замечаний, поясняющих направление для дальнейших улучшений своей конструкции. Из этих замечаний для специалистов очевидно, что Оскар Клейн уже тогда вполне отчетливо видел математическую структуру, которая будет повторно открыта два с лишним десятилетия спустя — под названием электрослабая теория. То есть общепринятая ныне теория, объединившая в единую систему электромагнетизм и слабые ядерные взаимодействия. Вот только выведенная иными людьми, без 5D и без КК…
Хронологически же далее, вкратце, происходило вот что. Столь замечательная статья Оскара Клейна [ok3] была опубликована только в Материалах варшавского симпозиума в 1939 году, в Париже, причем на французском языке. Вскоре разразилась известно какая катастрофа, и чуть ли не весь цвет мировой физики интенсивно занялся созданием ядерного оружия.
Сам Клейн в этом проекте не участвовал никак, весь период войны благополучно пережив в родной нейтральной Швеции. Ну а впоследствии он еще несколько десятилетий работал над самыми разными физическими задачами — кроме развития самой главной своей теории. Отчего так, толком неизвестно.
Развитие передовой теоретической физики, ясное дело, тем временем продолжалось. Пусть уже и без Клейна. Среди творческих судеб прочих особо интересных для нас персонажей непременно надо еще раз упомянуть Германа Вейля. Потому что в 1949 году (через 20 лет после критических отзывов о теории Картана) он пришел к заключению, что следует в корне пересмотреть свои прежние взгляды на картанову геометрию.
В своей статье [wr] «Теория относительности как стимул в математических исследованиях» Вейль не только высоко отозвался о физическо-геометрических идеях коллеги, но и особо подчеркнул, что метод Картана теперь представляется ему совершенно необходимым для решения задачи о встраивании уравнения Дирака в эйнштейнову ОТО. Иначе говоря, для решения ключевой проблемы с объединением пространства и материи, гравитации и квантовой физики в рамках одной самосогласованной теории.
Хронологически это событие, напомним, относится к 1949 году. А вскоре в физико-математической науке — на фоне нарастающей Холодной войны — начали чередой происходить в высшей степени необычные и даже загадочные вещи.
ССЫЛКИ
[up] Freeman J. Dyson. Unfashionable pursuits. The Mathematical Intelligencer. September 1983, Volume 5, Issue 3, pp 47-54
[ym] Chen Ning Yang and Robert L. Mills. Conservation of isotopic spin and isotopic gauge invariance, Phys. Rev. 96 (1954), 191–195
[rs] Lochlain O’Raifeartaigh and Norbert Straumann. Early History of Gauge Theories and Kaluza-Klein Theories, with a Glance at Recent Developments. Preprint, arXiv:hep-ph/9810524v2, 5 Apr 1999
[sb] Jean Dieudonne, Elie Cartan Biography, in Dictionary of Scientific Biography (New York 1970-1990)
[cc] Shiing-Shen Chern and Claude Chevalley. Élie Cartan and his mathematical work. Bull. Amer. Math. Soc. 58 (1952), 217-250.
[cs] C.N. Yang, «Chern Symposium,» June 1979 (preprint CERN TH 2725 [1979]); «Magnetic Monopoles, Gauge Fields, and Fiber Bundles,» (preprint ITP/SB 77-14).
[jg] Jeremy Gray. Élie Joseph Cartan biography. In «The Princeton Companion to Mathematics», PU Press, 2008, page 794
[ch] Élie Joseph Cartan (1922) Sur les petites oscillations dune masse fluide, BSc, t. 46, 317—352, 356—369; [Oeuvres completes, CNRS, Paris, 1984, pt. 3, 13—61]. (1925) Note sur la generation des oscillations entretenues (совместно с Анри Картаном), Annales des Postes, Telegraphe et Telephone, t. 14, 1196—1207; [Oeuvres completes, CNRS, Paris, 1984, pt. 3, 71—82].
[wf] Hermann Weyl. On the foundations of infinitesimal geometry. Bulletin of the American Mathematical Society, 35:716–725 (1929). [Reprinted in “Weyl. Gesammelte Abhandlungen”, volume I–IV. Springer Verlag, Berlin. 1968]
[fl] Fock V, Uber die invariante Form der Wellen und der Bewegungsgleichungen fur einen geladenen Massenpunkt. Z. Phys. 39 226 (1926); London F, Quantenmechanische Deutung der Theorie von Weyl. Z. Phys. 42, 375 (1927).
[ok1] Oskar Klein, Quantum Theory and Five-Dimensional Relativity Theory, Z. Phys. 37 (1926) 895
[ok2] Oskar Klein, The Atomicity of Electricity as a Quantum Theory Law, Nature 118 (1926) 516
[ok3] Oskar Klein, «Sur la Theorie des Champs Associes a des Particules Chargees.» Les Nouvelles Theories de la Physique, Collection Scientific, Institute International de Cooperation Intellectuel, Paris (1939), p. 81. (On the Field Theory of Charged Particles, Proceedings of Symposium in Warsaw «New Theories in Physics», 30 May-3 June, 1938.)
[dg] David J. Gross. Oscar Klein And Gauge Theory. Lecture at the Oscar Klein Centenary Symposium in Stockholm, arXiv:hep-th/9411233v1, 30 Nov 1994
kiwi arXiv 