( Декабрь 2022, idb@kiwiarxiv )
Имя Поля Дирака по праву входит в плеяду самых выдающихся учёных XX века. Но при этом научное наследие этого физика-теоретика до сих пор освоено на удивление плохо. Можно показать, что это не случайность.
В среде научного сообщества давно утвердилась и широко распространена точка зрения, согласно которой все выдающиеся достижения и открытия гениального физика П.А.М. Дирака (1902-1984) были сделаны им в возрасте до 30 лет. Иначе говоря, остальные полвека своей жизни он пытался работать в стороне от научного мейнстрима, но сколь-нибудь значительных результатов или успехов, увы, это не принесло.
Так, повторимся, общепринято считать. А потому серьёзной и глубокой разработкой непопулярных идей Поля Дирака почти никто из учёных давно не занимается. Что само по себе очень печально, конечно, но вполне исправимо.
Ибо факты этой истории таковы, что именно по причине полного игнорирования важных идей от позднего Дирака наша фундаментальная теоретическая физика в послевоенный период пошла сильно не туда. И ныне, соответственно, выбраться из того глубокого кризиса, в котором она оказалась, наука могла бы по тем самым маршрутам, что были намечены давным-давно Полем Дираком.
По-хорошему про все эти важные дела следовало бы написать обстоятельную и весьма озадачивающую в своих подробностях книгу. Но пока книга такая никем и нигде не написана, можно собрать-скомпилировать подходящие фрагменты разных расcледований kniganews. И продемонстрировать с их помощью, сколь много в этой истории странного и загадочного…
«Самый странный человек»
Осенью 1933 года очередными лауреатами Нобелевской премии по физике стали Эрвин Шрёдингер и Поль Дирак. Значимость вклада каждого из этих учёных в создание квантовой теории более чем известна, но в связи с выбором именно данной пары людей не так уж часто обращают внимание на один занятный нюанс.
Если бы кто-то вдруг даже очень-очень постарался, то и тогда среди деятелей науки того времени вряд ли удалось бы найти двух таких выдающихся персонажей, которые столь разительно отличались друг от друга в своих чисто человеческих свойствах и особенностях.
О воистину безграничном интересе Шрёдингера к женскому полу ранее было сказано уже вполне достаточно. Но помимо дел амурных этот физик-теоретик весьма глубоко интересовался философией и историей религий, биологией и природой сознания, литературой и поэзией. Более того, и сам писал недурственные, по слухам, стихи – не говоря уже о весьма содержательных исследовательских работах на далёкие от основной профессии темы.
Что же касается гениального физика и математика Поля Дирака, то его из этого длинного и далеко не полного списка увлечений коллеги Шрёдингера не интересовало по жизни практически ничего.
Дабы наглядно отобразить особенности этого человека в быту и в общении с окружающими, достаточно привести всего несколько воспоминаний от близких соратников и друзей учёного. [1]
Вот что, скажем, рассказывал Вернер Гейзенберг о начальном периоде их многолетней дружбы с Дираком, завязавшейся в процессе своеобразного кругосветного путешествия – когда с лекциями о революционных свершениях в физике им довелось впервые посетить научные центры разных стран и континентов.
Летом 1929, после того, как Дирак и Гейзенберг уже сделали свои доклады в университетах США, то далее они – для продолжения «просветительского тура» – отправились на пароходе из Сан-Франциско в Японию, где им предстояло прочесть лекции в Токио и Киото.
Во время длительного плавания через океан жизнь на пароходе, как известно, довольно скучна, поэтому пассажиры активно ищут развлечений. Гейзенберг, в частности, с удовольствием ходил по вечерам на танцы. Дирак к этому делу был совершенно равнодушен, но тоже регулярно приходил на мероприятие вместе с коллегой, сидел на стуле и смотрел на танцующих.
Продолжалось так не один день, и наконец однажды, когда после очередного танца Гейзенберг присел рядом со своим долговязым приятелем, тот вдруг задал вопрос типа такого: «Скажи мне, Вернер, почему ты танцуешь»? На что получил простой и естественный для молодого человека ответ: «Ну, здесь есть милые девушки, с которыми приятно потанцевать».
Дирак, в свойственной ему манере, тщательно и долго обдумывал эти слова, после чего – минут эдак через пять – задал следующий вопрос: «Гейзенберг, а откуда ты заранее знаешь, что они милые»?..
Еще один старинный друг Дирака, Роберт Оппенгеймер, рассказывал такой эпизод из истории их знакомства в 1927, когда обоим довелось по случаю одновременно работать в Университете Геттингена. Помимо занятий физикой, Оппенгеймер, как большой поклонник классической литературы, много времени проводил за чтением Данте в оригинале.
Понаблюдав за этим занятием коллеги некоторое время, Дирак, наконец, сформулировал и задал ему однажды такой вопрос: «Скажи мне, Роберт, как ты можешь совмещать физику с поэзией? Ведь в физике мы пытаемся на простом языке объяснить то, о чём никто раньше не знал. А в поэзии же все делается в точности наоборот»…
В чуть иной ситуации, когда уже сам Оппенгеймер при подходящих обстоятельствах попытался предложить другу несколько книг для чтения, Дирак вежливо отказался, сославшись на то, что ему «чтение книг мешает думать». Из чего, впрочем, вовсе не следует делать вывод, будто большой учёный вообще не читал художественную литературу. На самом деле читал – но весьма специфическим образом.
Например, когда ещё один друг Дирака, Пётр Капица, как-то раз спросил его мнение относительно «Преступления и наказания» Достоевского, то П.А.М. прокомментировал книгу следующим образом: «Роман хорош, но в одной из глав автор допускает ошибку. В его описании солнце встаёт дважды в один и тот же день»…
Поскольку реакции подобного рода Дирак демонстрировал в общении с окружающими постоянно, вряд ли удивительно что Нильс Бор, всегда питавший к более молодому коллеге глубочайшее уважение, отзывался о нем не только как о «самой чистой душе», но и как о «самом странном человеке из всех», кто когда-либо появлялся в его Институте теоретической физики в Копенгагене.
Тихий гений
Дабы для всех людей, включая и тех, кто совсем мало сведущ в истории науки, был ясен масштаб Поля Дирака как учёного, достаточно, наверное, привести всего один факт. Если в кругах специалистов, действительно понимающих в физике, задаётся вопрос о двух главных учёных XX века, оказавших наибольшее влияние на современное научное мировоззрение, то чаще всего называются имена Эйнштейна и Дирака.
Авторитетный теоретик и популяризатор науки Фримен Дайсон, к примеру, пишет об этом так [2]:
Почему тем, кто никак не связан с физикой, должен быть интересен Дирак? Поль Дирак интересен по тем же самым причинам, по которым интересен Эйнштейн.
Они оба сделали великие открытия, изменившие сам образ нашего мышления о природе. И оба они были уникальными человеческими личностями – как с сильным собственным мнением, так и с сильными пристрастиями…
Главной же разницей между ними является тот факт, что Эйнштейн был одним из наиболее знаменитых людей в мире, в то время как Дирак всегда оставался скрытым от публики.
Имеется множество причин тому, почему Эйнштейн стал необыкновенно знаменитым. Главная причина заключалась в том, что быть знаменитым ему нравилось и он развлекал публику провокационными заявлениями, которые хорошо ложились на заголовки газет.
У Дирака же никогда не было ни желания, ни дара к публичности. Он как бы сам отталкивал настырных журналистов, постоянно оставаясь молчаливым.
Гигантская слава Эйнштейна и редкостная скрытность Дирака дали публике ложное представление о тех революциях, которые они возглавляли.
Публика в курсе об одной из этих революций и вполне справедливо почитает за неё Эйнштейна. Это была революция, изменившая наши представления о пространстве и времени. Этот новый способ мышления получил название релятивизм или «относительность».
Вторая же революция, которая произошла лет на десять позже, была более значительной – изменив то, каким образом мы воспринимаем почти всё в этом мире. Не только в физике, но также и в химии, и в биологии, и в философии. Она изменила сам образ наших мыслей о природе науки, о причинах и следствиях, о прошлом и будущем, о фактах и вероятностях. Этот новый образ мышления получил название квантовая механика.
Вторая революция была осуществлена целой группой – примерно полудюжиной – учёных, включая и Эйнштейна. У неё не было какого-то одного лидера. Однако самым чистым и самым отчётливым выразителем нового мышления был Дирак.
И если бы мы вдруг пожелали, чтобы у второй революции было человеческое лицо, то наиболее подходящим лицом было бы лицо Дирака…
Единственное, что хотелось бы добавить к столь содержательному комментарию относительно великой роли Дирака в науке XX века, это замечание о необычной сути его гениальности.
Суть эту хорошо передаёт концепция Марка Каца, известного математика и историка науки, который в одной из своих книг сформулировал следующую бинарную классификацию научной гениальности [3]:
В науке, так же как и в других областях человеческой деятельности, есть два типа гениев: «обычные» и «волшебники».
Гений обычный – это такой замечательный человек, которым в принципе могли бы стать и вы, и я, но только если бы мы были во много, много раз лучше в тех делах, которыми занимаемся. Иначе говоря, нет там никакой особой загадки в том, как работает их разум. Как только мы постигаем, что именно ими сделано, мы чувствуем, что и мы тоже могли бы в принципе до этого додуматься.
(Наглядности ради можно напомнить, что все базовые идеи и соотношения о природе пространства-времени, лежащие в основе специальной и общей теорий относительности Эйнштейна, так или иначе обнаруживаются в работах его предшественников – Римана, Пуанкаре, Лоренца, Минковского, Гильберта… Продолжим, однако, цитату: )
Но вот с волшебниками все совершенно по-другому. Они, если прибегать к математическому жаргону, словно живут в ортогональном дополнении (т. е. пространстве, «перпендикулярном») к тому, где живём мы с вами. И понять работу их мышления при всех наших усилиях оказывается совершенно непостижимым.
Даже после того, как мы понимаем, что за великую вещь они сделали, собственно процесс, которым они к этому пришли, так и остаётся полностью в темноте.
У них редко бывают, если вообще бывают, ученики, потому что невозможно воспроизвести то, что делают они. Для всякого блестящего юного ума наступает ощущение ужасающей растерянности от того, что он не способен постичь загадочные пути, на которых работает разум волшебника…
Великий физик Поль Дирак, вне всяких сомнений, был именно такого рода волшебником.
Его разум жил в мире математики, он очень тонко чувствовал красоту уравнений и был абсолютно уверен, что именно вот эта математическая красота и является главным критерием правильности для отыскиваемых человеком формул.
К великому сожалению, Дирак не только не умел объяснить на обычном человеческом языке, в чём заключается красота его уравнений, но и более того, был уверен, похоже, что сделать это невозможно в принципе. Иначе говоря, волшебник внутри Дирака не верил в Дирака-обычного-человека.
Это предубеждение оказалось главной, наверное, из ошибок великого учёного – помешавшей сделать, как это представляется из дней сегодняшних, очень важный шаг вперед…
Игры с математикой
Применительно к классикам науки иногда используют довольно специфический критерий для соизмерения масштабов их вклада в общее научное наследие – оценку количества так называемых именных результатов.
Про все необъятные просторы научного мира говорить сложно, однако в отношении территории страны физики есть сильное подозрение, что после тщательных подсчётов абсолютным чемпионом тут окажется Поль Адриен Морис Дирак (также известный как П.А.М.).
Вот лишь часть из того предлинного следа или списка научных свершений, что остался в физике после появления нашего героя:
Уравнение Дирака и скобки Дирака, монополь Дирака и теория дырок Дирака, дельта-функция Дирака и теория преобразований Дирака, пояс Дирака и матрицы Дирака, представление взаимодействия Дирака и правило квантования Дирака, статистика Ферми-Дирака и сопряжение Дирака, пропагатор Дирака и механика Дирака…
Столь внушительный перечень при желании можно продолжать и дальше, но только вряд ли есть в этом смысл, коль скоро уровни научной значимости каждого из этих вкладов далеко не равны и сильно различаются в зависимости от конкретного контекста. Но вполне определённо имеется смысл в том, чтобы поподробнее рассказать о достижении, стоящем в данном ряду самым первым.
Ибо релятивистское уравнение Дирака, описывающее поведение электрона во внешнем силовом поле, по праву считается не только самым удивительным «волшебством» этого великого теоретика, но и одним из наиболее значительных уравнений в физике (а также, как выяснилось впоследствии, оказывается ещё и фундаментально важным уравнением для математики, но об этом чуть позже).
Серия из несколько статей, посвящённых «Квантовой теории электрона», была опубликована Полем Дираком в первые месяцы 1928 года. Чтобы стало понятнее, насколько большим и важным событием стала данная работа для физики того времени, следует сделать несколько кратких пояснений.
За два десятилетия до того, как появилась квантовая механика, в науке произошла релятивистская революция 1905 года. Благодаря Эйнштейну, учёные с той поры быстро перешли к новой точке зрения, согласно которой уравнения классической механики Ньютона не работают для материи, движущейся со скоростями, близкими к скорости света.
Стало понятно, что при высоких скоростях уже не только расстояния в пространстве, но и время нельзя рассматривать как абсолютное и неизменное. Более того, относительное растяжение и сокращение интервалов времени оказывается не только зависимым от скорости, но ещё и непосредственно увязанным с тремя пространственными координатами, что заставляет говорить о целостном 4-мерном пространстве-времени.
Когда же в 1920-е годы в физике стали происходить революционные свершения квантовой механики, одновременно стала ясна и другая ситуация, в которой перестаёт работать механика Ньютона – на микроскопических масштабах мира частиц. Откуда вполне естественным образом возник вопрос: что же за особенная физика должна быть у микрочастиц материи, которые одновременно и двигаются очень быстро, и в размерах являются очень маленькими?
Этот важный концептуально-теоретический вопрос очень быстро, по сути сразу же, перешёл в разряд сугубо практических. Ведь электроны в атомах чрезвычайно малы, и быстрота их движения была вполне достаточна для выявления расхождений в экспериментах и теории. То есть, имевшиеся поначалу уравнения квантовой механики (выведенные без релятивистских эффектов Эйнштейна) оказывались слегка неточными для предсказания тех спектров излучения атома, что получали в своих опытах экспериментаторы.
Понятно, что многие настырные творцы новой физики с самого начала пытались сконструировать такую квантовую теорию, которая была бы и согласована с теорией относительности, и давала бы хорошие предсказания. Но удовлетворительно это сделать в первые годы ни у кого не получалось. Пока не появился Дирак со своим уравнением…
Как это часто бывает в квантовой физике, самой загадочной вещью в дираковых математических формулах было то, что они ниоткуда, по сути, не выводились. А были просто сконструированы автором на основе его собственной математической интуиции. Дирак так и объяснял свой волшебный метод – «поиграть с математикой уравнений и посмотреть, что они выдадут».
Говоря упрощенно, теоретик заранее представлял, в каком примерно виде он хотел бы иметь ответ, а затем начинал конструировать уравнение, которое могло бы такой ответ выдавать. И вот, когда у него получилось уравнение особенно красивого вида, вышло так, что оно же ещё и даёт правильные предсказания для результатов физиков-экспериментаторов…
Когда данный факт получил официальное подтверждение – что волновое релятивистское уравнение Дирака предоставило полное объяснение спектроскопии (спектров излучения энергии) атома водорода – это уравнение было очень быстро принято физическим сообществом в качестве фундаментального уравнения для электрона, а также, возможно, и для протона.
Но самым волнующим оказалось то, что это же красивое математическое соотношение содержит в себе много, много больше того, что искал поначалу Дирак…
Как это возможно?
Фримен Дайсон, как рассказывалось ранее, главной шуткой природы считал появление мнимой единицы в уравнении Шрёдингера (или иначе, указание на жизнь волн материи в трудно вообразимом пространстве комплексных чисел). Имеются, однако, сильные основания считать, что в уравнении Дирака природного юмора заложено несоизмеримо больше.
Вот только юмор этот до учёных все никак что-то не доходит.
Но шутки юмора, как известно, нередко бывают вещами довольно тонкими. В науке же физике имеются куда более надёжные методы и подходы для определения действительно хороших уравнений.
Ибо давно установлено, что по-настоящему сильная формула не только правильно «объясняет» (математически корректно описывает) уже известные результаты, но и позволяет предсказывать новые, прежде неизвестные эффекты и явления. А также естественным образом порождает то, что ранее приходилось вносить в описание искусственно.
Формула Дирака именно тем для физиков и хороша, что делает все подобные штуки.
За несколько лет до появления уравнения Дирака уже было известно, что важным квантовым свойством электрона является спин или собственный момент вращения. Наряду с массой и электрическим зарядом, спин оказался неотъемлемой частью физики частицы. Такой, правда, частью, которая бралась неизвестно откуда и вставлялась в схему искусственно – чтобы получать нужный верный ответ.
Когда же у физиков появилось уравнение Дирака, то выяснилось, что спин там – наряду с магнетизмом – возникает как математически естественное и неизбежное свойство электрона, который теперь стал одновременно и квантовой частицей, и релятивистским объектом. (Формулируя суть подоходчивее, можно сказать, что эффекты относительности, искривляющие пространство-время, заставляют частицу с зарядом вращаться, из-за чего одновременно – по Максвеллу – порождаются магнитные свойства.)
Самой же выдающейся особенностью уравнения Дирака стала его крайне необычная – «учетверённая» – математическая структура, позволившая (точнее, заставившая) предсказывать в высшей степени неожиданные и странные вещи. Поначалу это казалось физикам большой проблемой, но вскоре, когда предсказанный математикой феномен – позитрон или античастицу электрона – обнаружили в космическом излучении, это открытие стало воистину триумфом Дирака и его уравнения.
Далее же история сложилась так, что триумфальный успех с позитроном отправил теоретиков не то чтобы по совсем ложному, но по сильно петляющему пути. По сути дела, быстрое открытие античастицы электрона заблокировало выход науки на куда более грандиозное открытие, к которому подталкивало исследователей уравнение.
Чтобы более доходчиво разъяснить, каким образом подобные вещи происходят, следует подчеркнуть, что уравнения математической физики никогда не «объясняют» физику – то есть природу – происходящего. А дают лишь формальные соотношения между постоянными и переменными величинами. Что же касается интерпретации этих соотношений, то есть правдоподобной физической картины, соответствующей данному описанию, то эта задача целиком ложится на фантазию и воображение учёных, работающих с формулами.
Большая беда данной ситуации заключается в том, что однажды утвердившуюся интерпретацию понемногу привыкают считать «реальностью». Забывая, что могут быть и иные, более глубокие и более верные интерпретации. Иначе говоря, «реальная картина» фактически ускользает.
Конкретно в случае уравнения Дирака, его конструкция для описания волновых свойств релятивистского электрона неожиданно оказалась ощутимо сложнее уравнения Шрёдингера – имея в себе уже не одно комплексное число, а четыре таких компоненты. Две из них соответствовали «правому» и «левому» вращению частицы с положительной энергией, а две других компоненты – таким же правым-левым фазам вращения, но для «контр-частицы» с отрицательной энергией.
Не очень понятную «отрицательную энергию» стали трактовать примерно так: если обычная частица при внешнем воздействии поля ускоряет движение, то частица с отрицательной энергией, напротив, замедляется (и наоборот). Но вот что означала картина в целом – как перевести все это нетривиальное математическое хозяйство на постижимую человеческому разуму природу частицы – это был очень большой вопрос.
Один из наиболее выдающихся и проницательных математиков того времени, Герман Вейль, выдвинул следующее предположение относительно двух «лишних» компонент в описании электрона [4]:
«Теория Дирака, в которой волновое поле электрона описывается с помощью потенциала с четырьмя компонентами, приводит к вдвойне увеличенному количеству энергетических уровней. <…> Естественно ожидать, что из двух пар компонент для величин Дирака одна принадлежит электрону, а другая – протону».
Поль Дирак, как известно, с предположением Вейля не согласился и через некоторое время выдвинул собственную гипотезу – о том, что вторую часть решения в его уравнении можно было бы интерпретировать как представление совершенно новой и дотоле не наблюдавшейся частицы. Частицы, почти во всем подобной электрону, но только с положительным, а не с отрицательным зарядом.
Дирак дал ей название «анти-электрон», но вскоре – когда частицу такую действительно нашли в космическом излучении – за ней закрепилось имя позитрон. Впоследствии аналогичные «анти-партнеры» обнаружились и для всех прочих представителей постоянно растущего зоопарка частиц, так что антиматерия, теоретически предсказанная Дираком, очень прочно заняла своё место поначалу в науке, а затем в технике (позитрон-эмиссионная томография в современной медицине, к примеру).
Остался, правда, после всего этого гранд-успеха один довольно неприятный осадок. Из уравнения Дирака следует, что для КАЖДОГО решения с положительной энергией (электрона) в природе имеется контр-партнёр с отрицательной энергией (что трактуют как антиматерию). Однако в реальной жизни мы явно наблюдаем в стабильном виде только одну половину – частицы материи. В то время как частицы второй половины, антиматерии, моментально аннигилируют, то есть взаимно-уничтожаются при контакте с материей нашего мира.
Как это возможно, чтобы в условиях аннигиляции всегда оставалась только одна из половин? Ответа на данный вопрос наука так и не нашла по сию пору…
Ныне же имеются весьма сильные свидетельства тому, что ответ никак не отыскивается лишь по той причине, что сам вопрос сформулирован неверно.
Как показывает уравнение Дирака, мир природы действительно состоит из двух симметричных половин, вот только другая половина мира ничуть не менее стабильна, чем наша – потому что это вовсе не «антиматерия». В условиях геометрии пространства как односторонней поверхности, обе половины мира – это на самом деле одна и та же вселенная.
И прав тут был всё-таки Герман Вейль, а не «волшебник П.А.М.», когда углядел в уравнении Дирака, что неотъемлемым и естественным дополнением к стабильному электрону является столь же стабильный протон…
(Уравнение вполне допускает и порождение нестабильных античастиц, но в условиях раздвоенного мира все они естественным образом самоуничтожаются в результате известного эффекта аннигиляции.)
Великое совпадение
Здесь следует рассказать о судьбе одного в высшей степени поразительного факта. Или иначе, о «великом совпадении», открытом в математике и физике около полувека тому назад, однако по сию пору так и не находящем никаких внятных объяснений.
Начать эту историю удобнее всего с Премии Абеля, высшей для математиков награды, неофициально считающейся аналогом Нобелевской премии в области математической науки, но учреждённой Норвежской академией лишь 100 лет спустя, в 2002. (Почему Альфред Нобель в процессе организации своей научной награды исключил по каким-то личным причинам математику – это дело тёмное, но ходят упорные слухи, что и тут не обошлось без женщин.)
Самой первой в истории Абелевской премии в 2003 году был удостоен Жан-Пьер Серр (о котором тоже непременно следует рассказать, но определённо в другой раз), ну а следующими лауреатами высшего приза для математиков весной 2004 были объявлены Майкл Фрэнсис Атья и Изадор Зингер – за доказанную ими «Теорему об индексе». Вот об этой-то работе и пойдет здесь речь.
Официальное представление героев к награде было сформулировано так: «За открытие и доказательство теоремы об индексе, соединившей топологию, геометрию и анализ, а также за их выдающуюся роль в наведении новых мостов между математикой и теоретической физикой». Если же пояснять эту краткую формулировку поподробнее, то открывается удивительная вещь.
Доказанная ещё в 1960-е годы, теорема об индексе Атьи-Зингера считается если и не самым главным, то по меньшей мере одним из наиболее важных достижений в области математики второй половины XX века. В области чистой математики, следует подчеркнуть особо. Ибо эта очень мощная теорема – в лучших традициях науки «птиц» – связывает воедино такие далеко простирающиеся области, как математический анализ, топология, геометрия и теория представлений. [5]
Но что самое интересное, осуществлено было это объединение в рамках некоторой фундаментальной и весьма неожиданной конструкции. Данный результат, по идее, должен быть особенно дорог и близок любому физику – ибо в процессе работы математиков над теоремой индекса выяснилось, что их итоговая структура самым непосредственным образом связана с релятивистским уравнением Дирака. [6]
Фактически, занимаясь своими чисто абстрактными математическими изысканиями, на каком-то из этапов Атья и Зингер вдруг обнаружили, что на самом деле они переоткрыли для себя уравнение Дирака… И более того, оказалось, что уравнение Дирака — это в каком-то смысле «генератор» их математики, поскольку все остальное прочее может быть записано в терминах этого уравнения…
Для обязательного закрепления столь важного факта в рассказе, суть данного открытия необходимо повторить ещё раз. Обнаружилось, что фундаментальное для физики уравнение Дирака, связывающее воедино геометрию пространства-времени и природу частиц материи, на чрезвычайно глубоком уровне непосредственно заложено как «порождающий генератор» и в фундаментальные основы всей математики…
Ну и дабы результат этот особо впечатляюще смотрелся в общем контексте развития науки XX века, осталось выстроить известные факты истории в следующий ряд.
В 1913 году, то есть за десять с лишним лет до открытия спина частиц в квантовой физике, выдающийся математик Эли Картан разработал – чисто абстрактно – теорию спинорных представлений. Иначе говоря, математическое описание для природного феномена было начато Картаном как бы заранее, а затем ту же математику независимо переоткрыли для своих нужд квантовые физики.
Как результат, в течение 1930-х годов математический аппарат спинорных представлений получил очень существенное развитие благодаря работам физиков-теоретиков Вольфганга Паули и Поля Дирака – коль скоро между глубинами математики и физики проявилась столь отчётливая связь.
В конце 1960-х, как мы уже увидели, чисто абстрактные исследования Атьи и Зингера вновь, причём совершенно неожиданно, вывели математиков на уравнение Дирака. Казалось бы, столь вдохновляющий и грандиозный результат должен был – вспоминая 1930-е – опять дать новый сильнейший импульс для плодотворного и взаимовыгодного обогащения как теоретической физики, так и чистой математики…
Но ничего подобного, увы, не произошло. Среди нынешних физиков-теоретиков (не говоря уже об экспериментаторах) вообще мало кто наслышан о математической теореме Атьи-Зингера и ее чрезвычайно важной физической сути. Но что ещё хуже, из учебников по квантовой физике постепенно, но вполне отчётливо исчезает само уравнение Дирака.
«Тема, выкинуть которую совершенно не жалко»
В 2012 году у знаменитого физика-теоретика современности, одного из отцов Стандартной Модели частиц и Нобелевского лауреата Стивена Вайнберга вышла из печати новая книга – под вполне стандартным и неброским названием «Лекции по квантовой механике». [7]
Для столь большого учёного, как Вайнберг, новый курс лекций, конечно же, был далеко не первой книгой подобного рода. Достаточно сказать, что два других его учебника, написанные ещё в конце 1960-х – «Квантовая теория полей» и «Гравитация и космология» – не просто широко известны среди специалистов, но и нередко упоминаются среди наиболее влиятельных текстов в соответствующих областях физики.
Что же касается новой книги, то это, фактически, учебный курс лекций по квантовой механике, который Стивен Вайнберг много лет читал студентам в Техасском университете, г. Остин, США. Про то, какой это замечательный учебник и как много там всякого интересного, можно почитать где угодно в интернете, начиная с книжного магазина Amazon. Нас, однако, интересует здесь то, чего в вайнберговском учебнике не обнаруживается.
А нет там уравнения Дирака. Не по недосмотру, конечно же, а что называется «из принципа». Сам профессор написал об этом в предисловии к учебнику так:
Всякая книга по квантовой механике – это своего рода упражнение в избирательности. Я не могу утверждать, будто мой выбор предпочтений лучше, чем у других авторов, но они, по крайней мере, работали для меня хорошо, когда я читал этот учебный курс.
[Из всех опущенных в книге тем] Имеется лишь одна тема, которую выкинуть мне было совершенно не жалко – это релятивистское волновое уравнение Дирака. Мне представляется, что та манера, в которой это уравнение обычно преподносят в книгах по квантовой механике, является в высшей степени ошибочной…
Ну и далее Вайнберг с подробностями поясняет, до какой степени уравнение Дирака не соответствует воззрениям современной теоретической науки (сформировавшейся в значительной степени и под влиянием автора учебника).
А потому общепризнанное светило физики сочло целесообразным столь устаревшее достижение прошлого просто выбросить из учебного курса. И вообще не рассказывать новым поколениям учёных на данный счет ничего. Забыть и не вспоминать. Как будто никакого уравнения Дирака в истории науки и не было вовсе…
Конечно же, подобным образом рассуждают пока что далеко не все светила физики. Но сама тенденция явно заслуживает того, чтобы обратить на неё внимание. Тем более, что новый учебник от Вайнберга получает в научном сообществе заметно больше позитивных и даже восторженных откликов, нежели критических.
На одной из подобных рецензий следует остановиться особо (причина такого внимания тоже будет разъяснена, но только чуть далее после цитаты):
Ничто не радует меня так сильно, как действительно хороший учебник по квантовой механике. Учебник Вайнберга – это книга, мгновенно ставшая классикой своего жанра. Ясная, прекрасно структурированная и наполненная проницательными замечаниями. Эта работа ещё раз подтверждает репутацию Вайнберга – не только как одного из величайших теоретиков за последние 50 лет, но также и как одного из наиболее ярких объяснителей. Не книга, а чистая радость… [8]
В струе подобных восторгов очень кстати будет напомнить про ещё одного бесспорно выдающегося теоретика с репутацией «великого объяснителя». На рубеже 1950-60-х годов Ричард Фейнман в своем знаменитейшем учебном курсе «Фейнмановские лекции по физике» весьма похожим образом фактически целиком выкинул из своего курса не только фундаментально важное уравнение Дирака, но и, по сути, целый фундаментально важный раздел физики – гидродинамику.
При большом желании можно, наверное, считать, что «цензурные изъятия» в курсах Фейнмана и Вайнберга – это как бы случайное и неудачное стечение обстоятельств. Потому что именно гидродинамика и уравнение Дирака в настоящее время оказываются в самом эпицентре теоретических исследований, медленно и непросто сводящих в единую согласованную конструкцию квантовую физику и гравитацию (общую теорию относительности).
По аналогичной траектории можно считать случайностью и то, что автором процитированной выше восторженной цитаты про «чистую радость» от опуса Вайнберга является некто Грэм Фармело – адъюнкт-профессор физики и весьма известный автор книг по истории науки. Самой же знаменитой из его работ является биография Поля Дирака, вышедшая в 2009 и собравшая множество призов как лучшая книга года о науке.
Если же принять во внимание тот факт, что о великом учёном-физике Поле Дираке за всю историю научно-популярной литературы написано всего лишь ДВЕ [9] биографические книги (причём первая из них, от Хельге Крагха 1990 года, в гораздо большей степени научная, нежели популярная), то получается совсем уж странная вещь.
Автор единственной, по сути, биографии Дирака для широкой публики, Грэм Фармело, оказывается в неописуемом восторге от такого учебника, в котором совершенно умышленно не упоминается самое главное научное достижение Поля Дирака…
Тут, ясное дело, начинают закрадываться сильные подозрения относительно неслучайности происходящего. Вот только сами люди, порождающие все эти странные события, вряд ли смогут нам пояснить, что происходит. По их мнению, почти наверняка, ничего такого необычного здесь и не наблюдается вовсе. А какой-то там замысел в цепи случайных событий обычно ищут лишь чокнутые конспирологи да прочие беспокойные психи.
Не будем, однако, фантазировать о причинах происходящего. Но повнимательнее рассмотрим ещё один важный и хронологически следующий эпизод в научной биографии Дирака – и то, сколь специфически он отражён в книге Грэма Фармело.
Гипотетический мир
Как и всем прочим творцам квантовой физики, П.А.М. Дираку чрезвычайно не нравилось положение дел в их науке, сложившееся к концу 1930-х годов. Но если многие из коллег-теоретиков искали выход из кризиса через модернизацию и усложнение уже имеющихся подходов, Дирак считал, что для объяснения экспериментальных результатов и подлинного прогресса требуются принципиально новые идеи.
Именно такого рода теория сформировалась у физика к весне 1941 года, а в июне – несмотря на уже полыхавшую войну – выдался и удачный повод представить её публично коллегам из научного сообщества. В тот год Дирак был приглашён прочесть весьма почётную среди британских академиков Бейкеровскую лекцию, что и предоставило ему трибуну не только для рассказа о непростой ситуации в квантовой электродинамике, но и о тех маршрутах, которые виделись теоретику для выхода из кризиса. [10]
Суть тогдашних гранд-проблем у теоретиков, если в двух словах, сводилась к тому, что квантовая электродинамика (базовая теория о взаимодействии полей и материи) для объяснения новых экспериментальных результатов, полученных в 1930-е годы в физике высоких энергий, обросла чересчур усложнённой и неуклюжей математикой. И хуже того, даже при такой сложности модифицированные уравнения все равно не давали нужного – только лишь грубые и ненадёжные приближения вместо точных решений.
Для исправления этой неприятной ситуации Дирак предложил оригинальное и красивое решение – весьма эффектное с математической точки зрения, но порождающее большие вопросы относительно согласования подобных вещей с общепринятыми понятиями науки о физической реальности.
Если пояснять техническую сторону дела, то Дирак довольно своеобразно обобщил концепцию квантово-механических вероятностей. Если обычная математическая вероятность событий по самой сути своей всегда является неотрицательным числом из интервала от нуля до единицы, то в модели Дирака вероятности вполне могли быть и отрицательными – наряду с отрицательными энергиями для частиц.
Поясняя аудитории, что отрицательные энергии и вероятности вовсе не следует отвергать как бессмысленную чепуху, П.А.М. напомнил, что в математике подобные концепции в действительности давно и хорошо проработаны, поскольку очень полезны при вычислениях. Например, все, кто имеет понятие о денежных расчётах, вполне могут себе представить и «отрицательную сумму денег», которую в реальности никто и никогда не видел.
Аналогичным образом, и физические уравнения, выражающие важные свойства энергий и вероятностей, по-прежнему могут быть использованы и в тех случаях когда оперируют величинами с отрицательными значениями. Иначе говоря, отрицательные вероятности и энергии следует рассматривать просто как такие вещи, которые существуют «где-то ещё», но не появляются в экспериментальных результатах реального мира.
Понятно, что напрашивается естественный вопрос: если отрицательные энергии и вероятности не наблюдаются в реальном мире, то где же они тогда могут существовать? В качестве ответа Дирак и выдвинул свою идею так называемого «гипотетического мира». То есть ещё одного мира, дополняющего наш, в котором существуют все те нужные для теории состояния отрицательной энергии, которые в реальном мире не наблюдаются.
По оценкам коллег, новая концепция гипотетического мира выглядела физически необычно и даже мистически, но загадочное волшебство математической части впечатляло. Даже столь строгий критик, как Вольфганг Паули, знаменитый в этих кругах своими очень жёсткими и едкими оценками, воспринял Бейкеровскую лекцию Дирака с нехарактерным для него энтузиазмом, специально написав Дираку письмо со словами одобрения и поддержки [11]:
«Я только что очень тщательно проштудировал вашу Бейкеровскую лекцию и воспринял ее с сильным энтузиазмом. Я уверен, что на этот раз вы на правильном пути…»
Впрочем, спонтанный первоначальный энтузиазм довольно быстро сошёл на нет. То ли время было неподходящее, то ли ещё почему, но ни от кого из других видных теоретиков эта идея поддержки не получила. Так что математически сильная, по оценкам Паули, конструкция по сути дела ни тогда, ни впоследствии никого не заинтересовала на предмет её развития.
Более того, сегодня предпринимаются совершенно отчётливые попытки сделать вид, будто никакой такой теории о гипотетическом параллельном мире у Дирака и не было вовсе. Чтобы это увидеть, достаточно просто взять самую свежую биографическую книгу о великом учёном (Graham Farmelo. «The Strangest Man: The Hidden Life of Paul Dirac», 2009) – и посмотреть, что там рассказывает автор, Грэм Фармело, о Бейкеровской лекции П.А.М..
Сколь бы странно это ни выглядело, но в своём рассказе о данном мероприятии скрупулёзный биограф – хотя и сам профессиональный физик – умудрился вообще ни словом не упомянуть «гипотетический мир». То есть опущена собственно суть идеи, лежавшей в основе лекции Дирака…
Релятивистский эфир и другие полезные идеи
В первые же послевоенные годы, как известно, благодаря стараниям молодых теоретиков Фейнмана, Швингера и Томонаги (а также примкнувшего к ним Фримена Дайсона) родилась новая квантовая электродинамика. Обновленная теория избавила физику частиц от тяжких проблем с бесконечностями и расходимостями в уравнениях, а на выходе стала давать необычайно точные предсказания, поразительно совпадавшие с данными экспериментальных результатов. Так был заложен первый блок в фундамент Стандартной Модели частиц.
И что особо интересно, молодые люди, создавшие новую КЭД, не сделали в науке ничего революционного. По сути дела, они в весьма консервативном духе усовершенствовали уже имевшуюся математику и придумали «перенормировку», то есть специальные технические трюки, позволявшие взаимно уничтожать бесконечности для получения осмысленных – и главное совершенно правильных – ответов к задаче.
Поль Дирак категорически не принял новую теорию. Во-первых, в новых формулах совершенно не было так ценимой им красоты. Во-вторых, он считал абсолютно недопустимым подобное оперирование бесконечно большими значениями – просто выбрасывать их из уравнений, потому что они мешают. Наконец, в-третьих, П.А.М. был уверен, что для преодоления принципиальных затруднений в теории необходима фундаментальная смена утвердившихся концепций. То есть требовались подлинно революционные новые шаги, по своим масштабам соизмеримые с теорией относительности и квантовой механикой.
Особенно же Дираку не понравилась в КЭД глубоко неверная, по его убеждению, идея о «голом» точечном электроне, то есть концепция элементарного электрического заряда, рассматриваемого в отрыве от электромагнитного поля. Дабы в корне избавиться от столь ошибочной сущности и отыскать глубинную причину неудач, Дирак решил вернуться к «истокам классики», к уравнениям электромагнетизма Максвелла и к тем концептуальным основам, на базе которых они создавались.
А в основах этих, можно напомнить, лежали концепция эфира как всепроникающей тонкой материи, концепция поля как напряжённого состояния эфира, и концепция электрического заряда как локального осциллирующего возбуждения поля. Более того, с подачи Клиффорда была даже идея о том, что и все частицы материи, и их взаимодействия – все это в конечном счёте является локальными искривлениями пространства и их перемещениями наподобие волн…
Но так глубоко П.А.М. копать не стал, а «просто» решил для начала вывести новую классическую теорию электрона в таком виде, чтобы в уравнениях электрический заряд электрона вообще не фигурировал сам по себе как отдельная сущность. Технически эта задача оказалась вполне решаема. Преобразованные Дираком уравнения Максвелла стали выглядеть так, что в новой классической теории имелось только лишь отношение заряда электрона к его массе. А заряд в качестве отдельного свойства появлялся уже после процедуры квантования поля, как сопутствующий квантовый эффект. [12]
Поясняя конструкцию иными словами, Дирак особо отмечал, что его новая теория уже не является теорией точечных зарядов, а оперирует непрерывными потоками электрической энергии. Фактически, наиболее примечательной особенностью этой новой квантовой теории электромагнетизма оказывалось то, что в современную физику вновь возвращалась – согласно интерпретации Дирака – концепция универсального всепроникающего эфира.
К началу 1950-х годов, когда были выдвинуты новые идеи П.А.М., заводить разговоры о давно отвергнутой идее эфира считалось признаком безнадёжного ретроградства. Ведь все представители передовой науки прекрасно знали, что победа специальной теории относительности Эйнштейна окончательно и бесповоротно эфир отменила, так что с 1920-х годов данная концепция из физики была фактически изъята.
При этом практически никто не хотел задумываться о том, что уже ОТО, общая теория относительности Эйншейна, появившаяся через десяток лет после СТО, достаточно отчётливо заявила об излишней торопливости с отменой эфира. О том, что так называемое «пустое» пространство вакуума само по себе обладает конкретными физическими характеристиками, типа геометрической формы и энергии. Иначе говоря, пустотой «это» очевидно НЕ является. И первым о возврате эфира в физику заговорил сам же Альберт Эйнштейн, ещё в 1919 году…
Предложенное Дираком возвращение эфира опиралось как на релятивистские аргументы, так и на ту новую картину физического вакуума, которую предоставляла квантовая механика. В целой серии работ 1951-1953 годов П.А.М. предоставил развёрнутое концептуально-математическое обоснование тому, что привлечение эфира весьма полезно для новой физики и что как «очень лёгкая и тонкая форма материи» он может существовать в квантовой механике «в полной гармонии с принципами относительности». [13]
Более того, если принимать квантово-механическую идею эфира (то есть не как выделенную неподвижную систему отсчёта, отвергнутую в СТО, а как ещё одну форму материи с соответствующей динамикой и распределением частиц по скоростям), то далее естественным образом в физику возвращаются и другие отвергнутые прежде вещи. В частности, идеи об абсолютном времени и абсолютной одновременности событий.
Весной 1953 года, на конференции, устроенной в Лейдене в честь столетия двух прославленных голландских ученых, Хендрика Лоренца и Хейке Каммерлинг-Оннеса, Поль Дирак сделал весьма необычный доклад. Выступая перед очень солидной аудиторией, включавшей в себя таких светил, как Нильс Бор, Вернер Гейзенберг и Вольфганг Паули, Дирак продемонстрировал, что в действительности вполне возможно вернуть в квантовую теорию целый ряд полезных и естественных идей классической физики – таким образом, что это никоим образом не будет нарушать принципы относительности.
В частности, если цитировать ключевую идею Дирака дословно [14], то эфир, абсолютная одновременность и абсолютное время:
«… могут быть встроены в Лоренц-инвариантную теорию с помощью квантовой механики таким образом, что нет никаких причин отвергать их на основе теории относительности. Каким именно образом природа использует некоторые или все из данных механизмов – это может быть установлено только в результате подробного исследования.»
Главным итогом всех упомянутых усилий П.А.М. Дирака на «эфирном поприще» стало то, что он ещё более отчётливо обозначил себя как изгоя, по собственной воле покинувшего основное русло физики и решившего разрабатывать абсолютно немодные, практически ни для кого не интересные вещи.
Чуть ли не единственными учёными, кого всерьёз заинтриговали теории Дирака, оказались двое. Эрвин Шрёдингер, ещё один добровольный изгнанник физического мейнстрима, занимавшийся в Дублине междисциплинарными исследованиями широчайшего спектра – вплоть до биогенетики и тайн сознания. Да плюс другой, мало кому известный в ту пору лондонский физик по имени Деннис Габор, недавно придумавший новаторский способ получения 3D-изображений под названием «голография» – революционной важности концепцию, которую не только широкая публика, но даже коллеги-ученые по достоинству оценить ещё не могли…
PAUL + PAULI
Факты и события научной истории сложились так, что начиная с 1955 года Поль Дирак практически прекратил свои усилия по разработке новой квантовой физики на основе натурфилософии XIX века. Разных причин тому было множество – от полного безразличия влиятельных коллег до отсутствия собственной школы учеников. Но самая главная причина была тут, скорее всего, только одна.
Дираку удалось продемонстрировать, что математика его уравнений способна корректно «предсказывать» уже известные результаты экспериментов. Но вот предсказать что-то действительно новое-важное, доселе неизвестное и проверяемое опытом – этого его новая теория делать не умела. Причем П.А.М. отлично понимал, в чем тут заключается первооснова проблем.
В его конструкции явно недоставало некоторых очень существенных элементов – новых физических идей. Прежде Дираку помогала собственная методика – поиграть с математикой: «Если нет ключей к тому, какие именно требуются новые физические идеи, можно быть уверенным, что это будет некая очень привлекательная математика – поэтому надо поискать её»… Однако на этот раз испытанный метод явно не срабатывал, а красота упорно ускользала.
Короче говоря, поначалу весьма многообещающая новая теория – т. е. заведомо привлекательная из общих соображений «естественной физики» – в промежуточном итоге получилась у П.А.М. и без новых идей, по сути, и без красивой математики. А потому, ясное дело, не то что успеха, но даже мало-мальской известности она не обрела.
К счастью, довольно скоро, в конце 1957, главное своё открытие сделал Вольфганг Паули. Причём имеются очень веские основания полагать, что это достижение не просто красиво дополняло «натурфилософскую» теорию Дирака, но и придавало ей именно то, чего прежде так не хватало – новые физические идеи. Суть этих идей сводилась к единственной ключевой фразе Паули: «Раздвоение и уменьшение симметрии – вот где собака зарыта!»… [15]
Но ключ этот, увы, сразу же был утерян – коль скоро знал о нём только Вернер Гейзенберг, загадочный смысл этой фразы сам он не понял, а другим про неё долго не рассказывал. Что же касается самого Вольфганга Паули, то даже общая суть его открытия осталась тайной, поскольку сразу он ничего публиковать не стал. Ну а затем его состояние крайнего воодушевления сменилось вскоре сильным раздражением и депрессией, попутно с учёным стала происходить череда довольно странных и тягостных событий, и примерно через год, в декабре 1958, все оборвалось известно чем – неожиданной смертью…
Не надо быть ясновидящим, чтобы усмотреть здесь достаточно очевидные признаки чего-то глубоко несправедливого и нехорошего – типа духовного насилия над человеком и нарушения естественного хода вещей.
Исправить произошедшее, конечно, уже невозможно. Но зато вполне имеется возможность проделать аккуратное сопоставление – того, над чем размышлял в данный период Паули, с тем, что предлагал тогда же Поль Дирак. Благо на данный счёт информации вполне достаточно.
Сопоставив же известные факты, в итоге мы получим следующую картину. (Для адекватного ее восприятия необходимо помнить, что в жизни Паули огромную роль играли сновидения – которым он уделял пристальное внимание, всегда их записывал, анализировал и далее пытался спроецировать на физико-теоретические исследования.)
Толчком к началу интересующего нас исследования, завершившегося грандиозным открытием, был сон Паули, в котором он увидел двух младенцев-близнецов, похожих друг на друга до такой степени, что порождалось ощущение, будто незадолго до этого они были одним человеком. Причём это было уже далеко не первой подсказкой – сосредоточиться на идее «раздвоения».
В другом созвучном сновидении женщина-китаянка исполняла своеобразный танец на винтовой лестнице, соединяющей два параллельных уровня-этажа. Поочередно двигаясь по спирали вверх и вниз, она языком танца сумела донести до Паули, что на самом деле здесь нет никакой разницы между «верхом» и «низом», и что в действительности уровень тут один. Но раздвоенный.
Наложив этот сон на теоретическую конструкцию, известную под названием «мост Эйнштейна-Розена», несложно увидеть, что предложенная Эйнштейном модель частицы – как «перемычки» между двумя параллельными мирами – получает существенное дополнение. Согласно пояснениям танцовщицы из сна Паули, перемычка – это не просто статичный туннель, но более сложная динамическая система, которая наряду с вращением частицы также обеспечивает и её постоянные перемещения – или гармонические колебания – с одной поверхности на другую.
Ну а отсюда уже вполне логично и естественно перейти к математическим конструкциям Поля Дирака.
О том, что релятивистское уравнение Дирака описывает раздвоенную частицу-биспинор, постоянно перескакивающую между состояниями «зиг» и «заг», уже рассказывалось ранее. Про то, что математически очень удобный «гипотетический мир» Дирака в данном контексте становится второй половиной раздвоенной вселенной, можно, видимо не пояснять, поскольку это и так вполне очевидно.
Но вот натурфилософские разработки П.А.М. здесь непременно следует выделить особо – в частности, концепции эфира (пространства как тонкой материи), абсолютного времени и абсолютной одновременности событий. Потому что именно эти идеи добавляют в реконструкцию очень существенные новые детали. Можно даже сказать, ключи к тому, каким образом «раздвоение» оказывается связанным с «уменьшением симметрии».
Объединив «квантовую натурфилософию» Дирака с ключом-лозунгом от Паули, имеется возможность показать, что современная теоретическая физика на самом деле весь этот механизм уже не только вполне освоила, но и изучила вплоть до тонких нюансов. Почему же при этом ясности тут по-прежнему всё нет и нет – вопрос сам по себе большой, интересный и тесно соприкасающийся с феноменом под названием «секретная наука».
Когда-нибудь, возможно, люди узнают, кто именно и когда конкретно принимал решения о том, какие вещи в послевоенной науке можно делать всеобщим достоянием, а что следует понадёжнее засекретить. Но может случиться и так, что достоверно и с документами мы не узнаем этого никогда.
По большому счёту, однако, теперь уже все подобные тайны представляются и не особо важными. А действительно важным и существенным оказывается нечто иное. Можно это называть «осмысленная коррекция вероятного будущего»…
# # #
Дополнительное чтение:
Дирак как предчувствие ; Паули как психотравма
Бунт учёного и Годы, когда потеряли погоду
Мосты ЭР и другие военные потери
Раздвоение и уменьшение симметрии ; Максвелл и Мёбиус – интересный фундамент Эйфелевой башни СМ
# #
Основные источники:
[1] Abraham Pais. The Genius of Science. Oxford University Press, 2000. Русский перевод: Абрахам Пайс. Гении науки. ИКИ, 2002
[2] Freeman Dyson. Silent Quantum Genius. The New York Review of Books. Feb 25, 2010 Issue
[3] Mark Kac. Enigmas of Chance: An Autobiography. Harper and Row. 1985
[4] Hermann Weyl. Elektron und Gravitation, Zeitschrift fur Physik, 56, 330-352, 1929. Русский перевод: Электрон и гравитация (1929). В сборнике Герман Вейль. Математика. Теоретическая физика. Избранные труды. «Наука» 1985
[5] M.F. Atiyah and I.M. Singer, The index of elliptic operators I, Annals of Math. 87 (1968), 484–530
[6] Michael Atiyah. The Dirac Equation and Geometry, in “Dirac. The Man and His Work”, 1998
[7] Steven Weinberg, Lectures on Quantum Mechanics, Cambridge University Press, 2012
[8] Graham Farmelo. «What are you reading?» , Times Higher Education, 17 October 2013
[9] (1) Helge Kragh. Dirac: A Scientific Biography. Cambridge University Press, 1990. (2) Graham Farmelo. The Strangest Man: The Hidden Life of Paul Dirac. Faber and Faber, 2009.
[10] P.A.M. Dirac, The Physical Interpretation of Quantum Mechanics (Bakerian Lecture 1941) // Proc. Roy. Soc, London. A. 1942. V. 180. P. 1-40. Русский перевод: Физическая интерпретация квантовой механики, в «ДИРАК П. А. М. Собрание научных трудов». Том 2 (Квантовая теория, статьи 1924-1947) ФИЗМАТЛИТ, 2003
[11] Pauli to Dirac, May 6, 1942. In Pauli, Wolfgang, Wissenschaftlicher Briefwechsel mit Bohr, Einstein, Heisenberg u.a., ed. K. von Meyenn, vol. 3 (1940-45), Berlin: Springer.
[12] P.A.M. Dirac. A new classical theory of electrons, PRSL A209, 291-5 (July 3, 1951)
[13] P.A.M. Dirac, Is there an Aether?. Nature 168 (1951 October 9), 906-7; Dirac, Die Stellung des Aethers in der Physik, Naturwissenschaftliche Rundschau, 6, 441-6. Lindau Lecture, July I, 1953; Dirac, Quantum mechanics and the aether, The Scientific Monthly 78, 142-6 (1954) Русский перевод: в «ДИРАК П. А. М. Собрание научных трудов». (Том 3, Квантовая теория, статьи 1948-1984) ФИЗМАТЛИТ, 2004.
[14] P.A.M. Dirac, The Lorentz transformation and absolute time. Physica 19, 888-96 (1953)
[15] kniganews: Мировая формула
#
kiwi arXiv 